实数全章复习与巩固（基础） 【学习目标】 1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根. 2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根. 3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应；
了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化. 4.能用有理数估计一个无理数的大致范围. 【知识网络】 【要点梳理】 【高清课堂389318 实数复习，知识要点】 要点一平方根和立方根 类型 项目 平方根 立方根 被开方数 非负数 任意实数 符号表示 性质 一个正数有两个平方根，且互为相反数；
零的平方根为零；
负数没有平方根；
一个正数有一个正的立方根；
一个负数有一个负的立方根；
零的立方根是零；
重要结论 要点二实数 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分 实数 按与0的大小关系分 实数 要点诠释（1）所有的实数分成三类有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数． （2）无理数分成三类①开方开不尽的数，如，等；
②有特殊意义的数，如π；
③有特定结构的数，如0.1010010001 （3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式. （4）实数和数轴上点是一一对应的. 2.实数与数轴上的点一 一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 3.实数的三个非负性及性质 在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式 （1）任何一个实数的绝对值是非负数，即||≥0；
（2）任何一个实数的平方是非负数，即≥0；
（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即 . 非负数具有以下性质 （1）非负数有最小值零；
（2）有限个非负数之和仍是非负数；
（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0. 4.实数的运算 数的相反数是－；
一个正实数的绝对值是它本身；
一个负实数的绝对值是它的相反数；
0的绝对值是0. 有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里. 5.实数的大小的比较 有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立. 法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数 大；
法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；
法则3. 两个数比较大小常见的方法有求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法. 【典型例题】 类型一、有关方根的问题 1、下列命题①负数没有立方根；
②一个实数的算术平方根一定是正数；
③一个正数或负数的立方根与这个数同号；
④如果一个数的算术平方根是这个数本身，那么这个数是1或0；
⑤如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1或0 ，其中错误的有（ ） A.2个 B.3 个 C.4 个 D.5个 【答案】B；
【解析】①负数有立方根；
②0的算术平方根是0；
⑤立方根是本身的数有0，1. 【总结升华】把握平方根和立方根的定义是解题关键. 举一反三 【变式】下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C；
2、若，则＝ 若，，则 【答案】1.01；
7.16；
【解析】102.01的小数点向左移动2位变成1.0201，它的平方根的小数点向左移动1位，变成1.01，注意符号；
0.3670的小数点向右移动3位变成367，它的立方根的小数点向右移动1位，变成7.16 【总结升华】一个数的小数点向左移动2位，它的平方根的小数点向左移动1位；
一个数的小数点向右移动3位，它的立方根的小数点向右移动1位. 类型二、与实数有关的问题 3、把下列各数填入相应的集合 －1、、π、－3.14、、、、． （1）有理数集合｛ ｝；
（2）无理数集合｛ ｝；
（3）正实数集合｛ ｝；
（4）负实数集合｛ ｝． 【思路点拨】首先把能化简的数都化简，然后对照概念填到对应的括号里. 【答案与解析】 （1）有理数集合｛－1、－3.14、、 ｝；
（2）无理数集合｛ 、π、、 ｝；
（3）正实数集合｛ 、π、、、 ｝；
（4）负实数集合｛ －1、－3.14、 ｝． 【总结升华】有理数是有限小数和无限循环小数，无理数是无限不循环小数.总结常见的无理数形式. 举一反三 【变式】（2015绥化）在实数0、π、、、﹣中，无理数的个数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B；
4、计算（1）（2） （3） 【思路点拨】先逐个化简后，再按照计算法则进行计算. 【答案与解析】 解（1）＝ （2）＝ （3）＝. 【总结升华】根据开立方和立方，开平方和平方互逆运算的关系，可以通过立方、平方的方法去求一个数的立方根、平方根. 举一反三 【变式】计算1 2 【答案】 解1 2 . 5、（2015资阳）已知（a6）20，则2b2﹣4b﹣a的值为 ． 【答案】12． 【解析】 解∵（a6）20， ∴a60，b2﹣2b﹣30， 解得，a﹣6，b2﹣2b3， 可得2b2﹣4b6， 则2b2﹣4b﹣a6﹣（﹣6）12， 故答案为12． 【总结升华】本题主要考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数绝对值、偶次方、二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0． 举一反三 【变式1】实数、在数轴上所对应的点的位置如图所示 化简＋∣－∣＝ . 【答案】 解∵＜0＜, ∴－＜0 ∴＋∣－∣＝－－－＝－2. 【高清课堂389318 实数复习，例5】 【变式2】实数在数轴上的位置如图所示，则的大小关系是 ；
【答案】；
类型三、实数综合应用 6、现有一面积为150平方米的正方形鱼池，为了增加养鱼量，欲把鱼池的边长增加6米，那么扩建鱼池的面积为多少（最后结果保留4个有效数字） 【答案与解析】 解因为原正方形鱼池的面积为150平方米，根据面积公式， 它的边长为 （米）． 由题意可得扩建后的正方形鱼池的边长为（12.247＋6）米， 所以扩建后鱼池的面积为≈333.0（平方米）． 答扩建后的鱼池的面积约为333.0（平方米）． 【总结升华】要求扩建后的鱼池的面积，应先求出其边长，而原鱼池的面积为150平方米，由此可得原鱼池的边长，再加上增加的6米，故新鱼池面积可求． 举一反三 【变式】一个底为正方形的水池的容积是486，池深1.5，求这个水池的底边长． 【答案】 解设水池的底边长为，由题意得 答这个水池的底边长为18.