2020年山东省淄博市高考数学打靶试卷（理科） 一、选择题本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若，则a（ ） A．5B．﹣5C．5iD．﹣5i 2．已知集合A{x|x2﹣x＜0}，B{x|x＜a}，若A∩BA，则实数a的取值范围是（ ） A．（﹣∞，1]B．（﹣∞，1）C．B．（﹣∞，﹣2]C．上随机选取两个数x和y，则满足2x﹣y＜0的概率为 ． 12．观察下列各式131，132332，13233362，13233343102，，由此推得132333n3 ． 13．6个人站成一排，若甲、乙两人之间恰有2人，则不同的站法种数为 ． 14．已知，若f（a）f（b）0，则的最小值是 ． 15．设双曲线的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F做x轴的垂线交双曲线于B，C两点，若A1B⊥A2C，则双曲线的离心率为 ． 三、解答题本大题共6小题，共75分． 16．如图，在△ABC中，M是边BC的中点，cos∠BAM，tan∠AMC﹣． （Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若角∠BAC，BC边上的中线AM的长为，求△ABC的面积． 17．如图，已知三棱锥O﹣ABC的三条侧棱OA，OB，OC两两垂直，△ABC为等边三角形，M为△ABC内部一点，点P在OM的延长线上，且PAPB． （Ⅰ）证明OAOB；
（Ⅱ）证明AB⊥OP；
（Ⅲ）若APPOOC1，求二面角P﹣OA﹣B的余弦值． 18．在标有“甲”的袋中有4个红球和3个白球，这些球除颜色外完全相同． （Ⅰ）若从袋中依次取出3个球，求在第一次取到红球的条件下，后两次均取到白球的概率；
（Ⅱ）现从甲袋中取出个2红球，1个白球，装入标有“乙”的空袋．若从甲袋中任取2球，乙袋中任取1球，记取出的红球的个数为X，求X的分布列和数学期望EX． 19．已知数列{an}和{bn}满足（n∈N*）．若{an}是各项为正数的等比数列，且a14，b3b26． （Ⅰ）求an与bn；
（Ⅱ）设cn，记数列{cn}的前n项和为Sn． ①求Sn；
②求正整数k．使得对任意n∈N*，均有Sk≥Sn． 20．已知抛物线Cy24x，点M与抛物线C的焦点F关于原点对称，过点M且斜率为k的直线l与抛物线C交于不同两点A，B，线段AB的中点为P，直线PF与抛物线C交于两点E，D． （Ⅰ）判断是否存在实数k使得四边形AEBD为平行四边形．若存在，求出k的值；
若不存在，说明理由；
（Ⅱ）求的取值范围． 21．已知λ∈R，函数f（x）λex﹣xlnx（e2.71828是自然对数的底数）． （Ⅰ）若f（1）0，证明曲线yf（x）没有经过点的切线；
（Ⅱ）若函数f（x）在其定义域上不单调，求λ的取值范围；
（Ⅲ）是否存在正整数n，当时，函数f（x）的图象在x轴的上方，若存在，求n的值；
若不存在，说明理由． 2020年山东省淄博市高考数学打靶试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若，则a（ ） A．5B．﹣5C．5iD．﹣5i 【考点】A5复数代数形式的乘除运算． 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简等式左边，再由复数相等的条件列式求解． 【解答】解∵， ∴，解得a﹣5． 故选B． 2．已知集合A{x|x2﹣x＜0}，B{x|x＜a}，若A∩BA，则实数a的取值范围是（ ） A．（﹣∞，1]B．（﹣∞，1）C．． 故选B． 10．已知函数f（x）的导函数为f（x），且满足f（x）2x2﹣f（﹣x）．当x∈（﹣∞，0）时，f（x）＜2x；
若f（m2）﹣f（﹣m）≤4m4，则实数m的取值范围是（ ） A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣∞，﹣2]C．上随机选取两个数x和y，则满足2x﹣y＜0的概率为 ． 【考点】CF几何概型． 【分析】写出实数对（x，y）所满足的约束条件，作出可行域，由面积比得答案． 【解答】解由题意可得实数x，y满足， 满足约束条件的平面区域如图 则满足2x﹣y＜0的概率为P． 故答案为． 12．观察下列各式131，132332，13233362，13233343102，，由此推得132333n3 ． 【考点】F1归纳推理． 【分析】根据题意，分析题干所给的等式可得1323（12）232，132333（123）2 62，13233343（1234）2 102，进而可得答案． 【解答】解根据题意，分析题干所给的等式可得 1323（12）232， 132333（123）2 62， 13233343（1234）2 102， 则13233343n3（1234n）2 []2， 故答案为． 13．6个人站成一排，若甲、乙两人之间恰有2人，则不同的站法种数为 144 ． 【考点】D8排列、组合的实际应用． 【分析】根据题意，分3步进行分析①、将甲乙2人排成一列，考虑甲乙之间的顺序，②、在其他4人中任选2人，安排在甲乙之间，③、将4人看成一个整体，与剩余2人全排列，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案． 【解答】解根据题意，分3步进行分析 ①、将甲乙2人排成一列，考虑甲乙之间的顺序，有A222种情况， ②、在其他4人中任选2人，安排在甲乙之间，有C42A2212种情况， ③、将4人看成一个整体，与剩余2人全排列，有A336种情况， 则6人有2126144种不同的站法；
故答案为144． 14．已知，若f（a）f（b）0，则的最小值是 ． 【考点】7F基本不等式． 【分析】，f（a）f（b）0，可得0，化为ab2．（a，b∈（0，2）），可得，再利用基本不等式的性质即可得出． 【解答】解，f（a）f（b）0，∴ 0，∴ 1，化为ab2，（a，b∈（0，2）） 则≥．当且仅当a2b时取等号． 故答案为． 15．设双曲线的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F做x轴的垂线交双曲线于B，C两点，若A1B⊥A2C，则双曲线的离心率为 ． 【考点】KC双曲线的简单性质． 【分析】求得B和C点坐标，根据直线的斜率公式可得k1k2﹣1，即可求得1，根据双曲线的离心率公式，即可求得双曲线的离心率． 【解答】解由题意可知左、右顶点分别是A1（﹣a，0），A2（a，0）， 当xc时，代入双曲线方程，解得y， 设B（c，），C（c，﹣）， 则直线A1B的斜率k1， 直线A2C的斜率k2﹣， 由A1B⊥A2C，则k1k2﹣1，即1， 则1， 双曲线的离心率e， 故答案为． 三、解答题本大题共6小题，共75分． 16．如图，在△ABC中，M是边BC的中点，cos∠BAM，tan∠AMC﹣． （Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若角∠BAC，BC边上的中线AM的长为，求△ABC的面积． 【考点】HT三角形中的几何计算． 【分析】（Ⅰ）根据三角形的性质和内角和的定理，转化为和与差公式求解即可． （Ⅱ）利用余弦定理求解出BM，即可求解△ABC的面积 【解答】解（Ⅰ）由， 得， ∴． 又∠AMC∠BAM∠B， ∴；
又B∈（0，π）， ∴． （Ⅱ）由（Ⅰ）知．角∠BAC， ∴C． 则ABBC． 设MBx， 则AB2x． 在△ABM中由余弦定理，得AM2AB2MB2﹣2ABBMcosB，即7x221． 解得． 故得△ABC的面积． 17．如图，已知三棱锥O﹣ABC的三条侧棱OA，OB，OC两两垂直，△ABC为等边三角形，M为△ABC内部一点，点P在OM的延长线上，且PAPB． （Ⅰ）证明OAOB；
（Ⅱ）证明AB⊥OP；
（Ⅲ）若APPOOC1，求二面角P﹣OA﹣B的余弦值． 【考点】MT二面角的平面角及求法；
LO空间中直线与直线之间的位置关系． 【分析】（Ⅰ）由已知条件利用勾股定理得OA2OC2OB2OC2，OAOB，得进行证明． （Ⅱ）根据题意，通过线面垂直的判定定理及性质定理即可证明平面PAB⊥平面POC． （Ⅲ）以OA、OB、OC所在的直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则所求值即为平面POA的一个法向量与平面OAB的一个法向量的夹角的余弦值，利用向量法求解． 【解答】解（Ⅰ）证明∵OA，OB，OC两两垂直， ∴OA2OC2AC2，OB2OC2BC2， 又△ABC为等边三角形，ACBC， ∴OA2OC2OB2OC2，∴OAOB；
（Ⅱ）证明∵OA，OB，OC两两垂直， ∴OC⊥OA，OC⊥OB，OA∩OBO，OA、OB⊂平面OAB， ∴OC⊥平面OAB，而AB⊂平面OAB，∴AB⊥OC， 取AB中点D，连结OD、PD， 由（1）知，OAOB，∴AB⊥OD， 由已知PAPB，∴AB⊥PD， ∴AB⊥OD，AB⊥PD，OD∩PDD，OD、PD⊂平面POD， ∴AB⊥平面POD， 而PO⊂平面POD，∴AB⊥PO， ∴AB⊥OC，AB⊥PO，OC∩POO，OC、PO⊂平面POC，∴AB⊥平面POC， 又AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面POC；
（Ⅲ）解如图，以OA、OB、OC所在的直线分别为x、y、z轴， 建立空间直角坐标系，由（1）同理可证OAOBOC， 设OAOBOC1，则O（0，0，0），A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，0）， C（0，0，0），（1，0，0），（﹣1，1，0）， 设P（x，y，z），其中x＞0，y＞0，z＞0，∴ （x，y，z），（x﹣1，y，z）， 由（Ⅱ）知OP⊥AB，且APPOOC1 ∴，解得xy1，z2，即（1，1，2）， 设平面POA的法向量为（x，y，z），又， 取z1，得（0，﹣2，1）， 由（2）知，平面OAB的一个法向量为（0，0，1）， 记二面角P﹣OA﹣B的平面角为θ，由图可知θ为锐角， cos ∴二面角P﹣OA﹣B的余弦值为 18．在标有“甲”的袋中有4个红球和3个白球，这些球除颜色外完全相同． （Ⅰ）若从袋中依次取出3个球，求在第一次取到红球的条件下，后两次均取到白球的概率；
（Ⅱ）现从甲袋中取出个2红球，1个白球，装入标有“乙”的空袋．若从甲袋中任取2球，乙袋中任取1球，记取出的红球的个数为X，求X的分布列和数学期望EX． 【考点】CH离散型随机变量的期望与方差；
CG离散型随机变量及其分布列． 【分析】（Ⅰ）利用条件概率公式计算所求的概率值；
（Ⅱ）由题意知X的所有可能取值，计算对应的概率值， 写出随机变量X的分布列，计算数学期望值． 【解答】解（Ⅰ）记“第一次取到红球”为事件A，“后两次均取到白球”为事件B， 则，；
所以，“第一次取到红球的条件下，后两次均取到白球的概率”为 ；
（或） （Ⅱ）X的所有可能取值为0，1，2，3；
则， ， ， ；
所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P