过程与方法以“平行线分线段成比例定理”为起点，给出相似三角形定义后，逐步讨论相似三角形的判定定理、性质定理等等。
情感态度价值观通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
教学重点相似三角形的判定定理、性质定理等等。
教学难点相似三角形的判定定理、性质定理等等。
课时 3课时 一．基础知识回顾 1、如图15-14，ΔABC中，∠1∠B，则Δ ∽Δ ．此时若AD3，BD2，则AC ． 答案 ACD，ABC，；
2、两个三角形相似，它们的周长分别是12和18，周长较小的三角形的最短边长为3，则另一个三角形的最短边长为 ． 答案. 3、如图15-15，CD是RtΔABC的斜边上的高．（1）若AD9，CD6，则BD ；
（2）若AB25，BC15，则BD ． 答案4；
9. 4、如图15-16，已知∠1∠2，请补充条件 （写一个即可）， A C B 图15-16 E ╮ ╮ 1 2 A C B D ╭ 1 图15-14 使得ΔABC∽ΔADE． ┐ A B C D 图15-15 D 答案∠B∠D（或∠C∠E，或）． 二．典型例题讲解 例1．如图15-17，A、B、C、D在一条直线上，EA⊥AD，垂足为A，ABBCCDAE． 求证ΔBCE∽ΔBED． ┐ A B C D E 图15-17 分析ΔBCE与ΔBED有一个公共角，因此只要再找一对角对应相等或证明夹这个公共角的两边成比例． 证明设ABa，在RtΔABE中，ABAEa， ∴BEa． 在ΔBCE和ΔBED中， ∵，， ∴． 又∵∠CBE∠EBD， ∴ΔBCE∽ΔBED． 评析三角形相似的证明方法很多，解题时应根据条件，结合图形选择恰当的方法．一般的思考程序是先找两对内角对应相等；
若只有一个角对应相等，再判定夹这个角的两边是否对应成比例；
若无角对应相等，就证明三边对应成比例． 例2．如图15-18，E，F分别是正方形ABCD的边AB和AD上的点，且． 求证∠AEF∠FBD． 分析∠AEF是RtΔAEF的一个锐角，因此要证明∠AEF∠FBD，可以通过证明 A B C D M F E 图15-18 三角形相似得到． 证明过点F作FM⊥BD于点M． 设正方形的边长为a，则BDa． ∵， ∴EBAFa，AEDFa． 在RtΔDMF中，EMDMDFa， ∴BMa－aa． 在RtΔAEF和RtΔMBF中， ∵，， ∠A∠BMF90， ∴ΔAEF∽ΔMBF． ∴∠AEF∠FBD． 评析本题的难点是构造含∠AEF和∠FBD的相似三角形．在含正方形的有关证明中，常借助正方形的性质采用计算法证明． ┐ A B D C E F G H 图15-19 例3．如图15-19，AD、BE是ΔABC的两条高，DF⊥AB，垂足为F，直线FD交BE于点G，交AC的延长线于H．求证DF2GFHF． 分析由于DF，GF，HF三条线段在同一条直线上，因此想直 接得到关系式比较困难，考虑用第三个量作代换． 证明在ΔAFH与ΔGFB中， ∵∠H＋∠BAC90，∠GBF＋∠BAC90， ∴∠H∠GBF． ∵∠AFH∠GFD90， ∴ΔAFH∽ΔGFB． ∴，∴AFBFGFHF． ∵在RtΔABD中，FD⊥AB， ∴DF2AFBF． ∴DF2GFHF． 评析本题涉及两个基本图形含斜边上高的直角三角形，含两条高的锐角三角形．含两条高的锐角三角形是相似形中的基本图形，图中有多对相似三角形，在解题时要充分利用图形提供的有效信息，选择有用的条件和结论．另外直角三角形的射影定理是相似三角形的性质在直角三角形中的应用，在解题中使用十分频繁． 三．精选试题演练 1、已知，如图15-20，在平行四边形ABCD中，DB是对角线，E是AB上一点，连结CE且延长和DA的延长线交于F，则图中相似三角形的对数是（ ）． A．2 B．3 C．4 D．大于4 答案 D. 2、如图15-21，已知ΔABC中，BC30，高AD18，EFGH是ΔABC的内接矩形，EF12，则GF（ ）． A．7.2 B．10.8 C．12 D．9 答案B. A F E B C G D 图15-20 图15-21 A B C D E F G H ┐ A D E C B F G 图15-22 3、如图15-22，ED∥FG∥BC，且DE，FG把ΔABC的面积分为相等的三部分，若BC15，则FG的长为（ ）． A．5 B．10 C．4 D．7.5 答案A. 4、如图15-23，已知矩形ABCD中，∠AEF90，则下列结论一定正确的是（ ）． A．ΔABF∽ΔAEF B．ΔABF∽ΔCEF C．ΔCEF∽ΔDAE D．ΔADE∽ΔAEF 答案C. A B C D E F 图15-23 D A ┐ C B E 图15-24 5、如图15-24，在RtΔABC中，∠C90，D是BC中点，DE⊥AB，垂足为E，∠B30，AE7．求DE的长． 答案. 6、如图15-25，四边形ACBD中，E是CD上一点，且∠DAB∠EAC，．∠DBA∠ECA． 图15-25 D A C B E 求证ΔADE∽ΔABC． 提示先证明ΔABD∽ΔACE，可得，再证明∠DAE∠BAC；
图15-26 C A M B D 7、如图15-26，在ΔABC中，∠ACB90，M是BC的中点，CD⊥AM，垂足为D． 求证ΔAMB∽ΔBMD． 提示由直角三角形射影定理得CM2DMAM，从而有BM2 DMAM，即，又∠AMB是公共角，可得结论；
8、如图15-27，已知RtΔABC中，∠C90，AC3cm，BC4cm，在该直角三角形中作内接正方形，使其顶点均在ΔABC的边上，求正方形的边长． ┐ A C B 图15-27 提示要分两种情况，（1）正方形的一个顶点在斜边上，一个顶点与C点重合，正方形的边长为cm；
（2）正方形的一条边在斜边上，正方形的边长为cm；
9、如图15-28，已知直角梯形ABCD中，∠A∠B90，设ABa，ADb，BC2b，作 DE⊥DC，交AB于点E，连结EC． （1）对于①ΔDCE与ΔADE；
②ΔADE与ΔBCE，试判断各组的三角形是否一定相似；
（2）如果两个三角形一定相似，请加以证明；
（3）如果不一定相似，请指出它们相似时，a，b应满足什么关系． A E D C B 图15-28 答案（1）ΔDCE与ΔADE一定相似，ΔADE与ΔBCE不一定相似；
（2）提示作DF⊥BC，垂足为F，利用RtΔADE∽RtΔFDC得到， 则AE，用勾股定理可以计算得ED，从而可以得到， 可以证得RtΔDCE与RtΔADE；
（3）提示利用相似三角形的对应边成比例可以计算得，当ΔADE∽ΔBCE时，a． 四．教学反思 相似三角形的定义、判定和性质是初中已学的内容，但在初中平面几何中没有给出定理的证明，通过本讲知识的学习可以体会逻辑推理、几何证明的重要性，在解题过程中应注意观察基本图形与定理间的关系，通过寻找基本图形把已知和未知联系起来，先明确需要证明哪两个三角形相似，再寻找三角形相似的条件，从而发现证题思路．