4-5 简单的三角恒等变换 1.文2020福建文，9若α∈0，，且sin2α＋cos2α＝，则tanα的值等于 A. B. C. D. [答案] D [解析] sin2α＋cos2α＝sin2α＋cos2α－sin2α ＝cos2α＝， ∵α∈0，，∴cosα＝，sinα＝， ∴tanα＝. 理2020陕西宝鸡质检设α，β均为锐角，且cosα＋β＝sinα－β，则tanα的值为 A．2 B. C．1 D. [答案] C [解析] 由已知得cosαcosβ－sinαsinβ＝sinαcosβ－cosαsinβ，所以cosαcosβ＋sinβ＝sinαcosβ＋sinβ，因为β为锐角，所以sinβ＋cosβ≠0，所以sinα＝cosα，即tanα＝1，故选C. 2．文设c B．bca C．cba D．cab [答案] B [解析] a＝sin58，b＝cos28＝sin62，c＝＝sin60，∵sin62sin60sin58，∴bca. 12．2020浙江杭州质检已知tanα＋＝，且－α0，则等于 A．－ B．－ C．－ D. [答案] A [解析] 由已知得＝，解得tanα＝－， 即＝－，cosα＝－3sinα，代入sin2α＋cos2α＝1中，结合－α0，可得sinα＝－， 所以＝＝2sinα ＝2－＝－，故选A. 13．若0αβ，则下列不等式中不正确的是 A．sinα＋sinβα＋β B．α＋sinβsinα＋β C．αsinαβsinβ D. βsinααsinβ [答案] D [解析] 由已知得sinαα，sinββ，0sinαsinβ，因此sinα＋sinβα＋β，即选项A正确．αsinα0，则f ′x＝1－cosx≥0，因此函数fx＝x－sinx在0，＋∞上是增函数，当0αβ时，有fαfβ，即α－sinαβ－sinβ，α＋sinβ＝αsinβ，选项D不正确． [点评] 作为选择题可用特殊值找出错误选项D即可． 14.文如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，CD⊥AB于点D，且AD＝3DB，设∠COD＝θ，则tan2＝________. [答案] [解析] 设OC＝r，∵AD＝3DB，且AD＋DB＝2r，∴AD＝，∴OD＝，∴CD＝r，∴tanθ＝＝， ∵tanθ＝，∴tan＝负值舍去， ∴tan2＝. 理＝________. [答案] －4 [解析] ＝ ＝＝－4. 15．文2020广东罗湖区调研已知a＝cosx＋sinx，sinx，b＝cosx－sinx,2cosx，设fx＝ab. 1求函数fx的最小正周期；
2当x∈时，求函数fx的最大值及最小值． [解析] 1fx＝ab＝cosx＋sinxcosx－sinx＋sinx2cosx ＝cos2x－sin2x＋2sinxcosx ＝cos2x＋sin2x＝ ＝sin. ∴fx的最小正周期T＝π. 2∵0≤x≤，∴≤2x＋≤， ∴当2x＋＝，即x＝时，fx有最大值；
当2x＋＝，即x＝时，fx有最小值－1. 理设函数fx＝cos＋sin2x. 1求函数fx的最大值和最小正周期；
2设A、B、C为△ABC的三个内角，若cosB＝，f＝－，且C为锐角，求sinA的值． [解析] 1fx＝cos＋sin2x＝cos2xcos－sin2xsin＋＝－sin2x， 所以函数fx的最大值为，最小正周期为π. 2f＝－sinC＝－，所以sinC＝， 因为C为锐角，所以C＝， 在△ABC中，cosB＝，所以sinB＝， 所以sinA＝sinB＋C＝sinBcosC＋cosBsinC ＝＋＝. 16．2020山东理已知函数fx＝sin2xsinφ＋cos2xcosφ－sin0φπ，其图象过点. 1求φ的值；
2将函数y＝fx的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝gx的图象，求函数gx在[0，]上的最大值和最小值． [解析] 1因为已知函数图象过点，所以有 ＝sinsinφ＋cos2cosφ－sin 0φπ， 即有1＝sinφ＋cosφ－cosφ0φπ， 所以sin＝1， 所以φ＋＝，解得φ＝. 2由1知φ＝，所以fx＝sin2xsin＋ cos2xcos－sin0φπ ＝sin2x＋cos2x－＝sin2x＋－＝sin， 所以gx＝sin，因为x∈， 所以4x＋∈， 所以当4x＋＝时，gx取最大值；
当4x＋＝时，gx取最小值－. 1．已知tan＝3，则cosα＝ A. B．－ C. D．－ [答案] B [解析] cosα＝cos2－sin2＝ ＝＝＝－，故选B. 2．2020哈尔滨六中一模的值为 A. B．－ C．－1 D．1 [答案] B [解析] ＝＝ ＝－＝－，故选B. 3．已知acosα＋bsinα＝c，acosβ＋bsinβ＝cab≠0，α－β≠kπ，k∈Z，则cos2＝ A. B. C. D. [答案] A [解析] 在平面直角坐标系中，设Acosα，sinα，Bcosβ，sinβ，点Acosα，sinα与点Bcosβ，sinβ是直线lax＋by＝c与单位圆x2＋y2＝1的两个交点，如图，从而|AB|2＝cosα－cosβ2＋sinα－sinβ2＝2－2cosα－β，又∵单位圆的圆心0,0到直线l的距离d＝，由平面几何知识知|OA|2－|AB|2＝d2，即1－＝，∴cos2＝. 4．2020北京理已知函数fx＝2cos2x＋sin2x－4cosx. 1求f的值；
2求fx的最大值和最小值． [解析] 1f＝2cos＋sin2－4cos＝－1＋－2＝－. 2fx＝22cos2x－1＋1－cos2x－4cosx ＝3cos2x－4cosx－1＝3cosx－2－，x∈R 因为cosx∈[－1,1]，所以当cosx＝－1时，fx取最大值6；