普通高等学校招生全国统一考试 仿真模拟（五） 理科数学 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.（2020成都市二诊）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2.（2020太原市一模）已知是虚数单位，则复数的共轭复数是（ ） A． B． C． D． 3.（2020合肥市质检）某校高三年级共有学生900人，编号为1，2，3，，900，现用系统抽样的方法抽取一个容量为45的样本，则抽取的45人中，编号落在区间的人数为（ ） A．10 B．11 C．12 D．13 4.已知双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 5.如图所示，当输入，的值分别为2，3时，最后输出的的值是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 6.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图下半部分是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是（ ） A． B． C． D． 7.（2020陕西省质检）已知等比数列的前项和为.若，，则（ ） A． B． C． D． 8.一组样本数据的频率分布直方图如图所示，试估计此样本数据的中位数为（ ） A．13 B．12 C．11.52 D． 9.（2020河南八市联考）已知，则（ ） A．-16 B．-8 C．8 D．16 10.已知函数，若，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 11.（2020保定市一模）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若数列满足，且，则（ ） A．2 B．-2 C．6 D．-6 12.（2020海口市调研）在平面直角坐标系中，点为椭圆的下顶点，，在椭圆上，若四边形为平行四边形，为直线的倾斜角，若，则椭圆的离心率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上） 13.已知，则的值是 ． 14.设为数列的前项和，且，，则 ． 15.已知向量，，则当时，的取值范围是 ． 16.设函数，，对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知、、、为同一平面上的四个点，且满足，，设，的面积为，的面积为. （1）当时，求的值；
（2）当时，求的值. 18.（2020成都市二诊）在三棱柱中，已知侧棱与底面垂直，，且，，为的中点，为上一点，. （1）若三棱锥的体积为，求的长；
（2）证明平面. 19.班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从本班24名女同学，18名男同学中随机抽取一个容量为7的样本进行分析. （1）如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本（写出算式即可，不必计算出结果） （2）如果随机抽取的7名同学的数学，物理成绩（单位分）对应如下表 学生序号 1 2 3 4 5 6 7 数学成绩 60 65 70 75 85 87 90 物理成绩 70 77 80 85 90 86 93 ①若规定85分以上（包括85分）为优秀，从这7名同学中抽取3名同学，记3名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为，求的分布列和数学期望；
②根据上表数据，求物理成绩关于数学成绩的线性回归方程（系数精确到0.01）；
若班上某位同学的数学成绩为96分，预测该同学的物理成绩为多少分 附线性回归方程， 其中，. 76 83 812 526 20.已知椭圆的右焦点为，过作互相垂直的两条直线分别与相交于，和，四点. （1）四边形能否成为平行四边形，请说明理由；
（2）求的最小值. 21.（2020青岛市一模）已知函数. （1）对于，恒成立，求实数的取值范围；
（2）当时，令，求的最大值；
（3） 求证. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号. 22.选修4-4坐标系与参数方程 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线，，曲线，. （1）求曲线的一个参数方程；
（2）若曲线和曲线相交于、两点，求的值. 23.选修4-5不等式选讲 已知函数的最小值为2. （1）求实数的值；
（2）若，求不等式的解集. 普通高等学校招生全国统一考试 仿真模拟（五）理科数学 一、选择题 1-5 BACCC 6-10 BADBC 11、12CA 二、填空题 13. 14. -601 15. 16. 三、解答题 17.解析（1）在中，由余弦定理，得，所以. 在中，由余弦定理，得， ∴， ∴. （2）， ， ， ， 因为，所以， 所以，解得. 18.解析（1）设， ∵，， 三棱锥的高为2， ∴， 解得，即. （2）如图，连接交于，连接. ∵为的中点，∴， 又，∴， 而平面，平面， ∴平面. 19.解析（1）依据分层抽样的方法，24名女同学中应抽取的人数为名， 18名男同学中应抽取的人数为名， 故不同的样本的个数为. （2）①∵7名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为3名， ∴的取值为0，1，2，3. ∴，， ，. ∴的分布列为 0 1 2 3 ∴. ②∵，. ∴线性回归方程为. 当时，. 可预测该同学的物理成绩为96分. 20.解析设点，， （1）若四边形为平行四边形，则四边形为菱形， ∴与在点处互相平分，又的坐标为， ∴，由椭圆的对称性知垂直于轴，则垂直于轴， 显然这时不是平行四边形， ∴四边形不可能成为平行四边形. （2）当直线的斜率存在且不为零时，设直线的方程为，， 由消去得，， ∴，， ∴，同理得，. ∴， 令，则， 当直线的斜率不存在时，，， ∴， 当直线的斜率为零时，，， ∴. ∵，∴的最小值为. 21.解析（1）由，得， 因为，所以， 令，， 再令，， 所以在上单调递减， 所以， 所以，则在上单调递减， 所以，所以. （2）当时，， ∴，， 由，得， 当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减；
∴. （3）由（2）可知，当时，， 即， 令，则，即， 分别令得， ，，，，， 将上述个式子相加得. 22.解析（1）由可知， . ∴. 令，， ∴的一个参数方程为（为参数，）. （2）， ∴，即. ∵直线与圆相交于、两点， ∴圆心到直线的距离， ∴. 23.解析（1）当时， ， ∴，. 当时，， ∴，， 综上可知或. （2）由（1）知，时.不等式， 即. 由（1）知， 由，得；
由，得. ∴不等式的解集为.