2018海淀区高中数学(理)一模试卷及答案,.pdf

海淀区高三年级第二学期期中练习 数学 理科 2018 4 本试卷共 4 页 150 分 考试时长120 分钟 考生务必将答案答在答题纸上 在试卷上 作答无效 考试结束后 将答题纸交回 第一部分 选择题 共40 分 一 选择题共 8 小题 每小题 5 分 共 40 分 在每小题列出的四个选项中 选 出符合题目要求的一项 1 已知集合 0 12 AaBxx 且AB 则 a 可以是 A 1 B 0 C 1 D 2 2 已知向量 1 2 1 0 ab 则 2ab A 1 2 B 1 4 C 1 2 D 1 4 3 执行如图所示的程序框图 输出的S值为 A 2 B 6 C 8 D 10 4 如图 网格纸上小正方形的边长为1 若四边形ABCD及 其内部的点组成的集合记为 M且 P x y为M中任意一点 则yx的最大值为 A 1 B 2 C 1 D 2 5 已知a b为正实数 则 1a 1b 是 lglg0ab 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 6 如图所示 一个棱长为1 的正方体在一个水平放置的转盘上转动 用垂直于竖直墙面 的水平光线照射 该正方体在竖直墙面上的投影的面积记作S 则S的值不可能是 A 1 B 6 5 C 4 3 D 3 2 7 下列函数 f x中 其图象上任意一点 P x y的坐标都满足条件 yx的函数是 A 3 f xx B f xx C e1 x f x D ln 1 f xx 8 已知点M在圆 22 1 1 1 1Cxy上 点 N在圆 22 2 1 1 1Cxy上 则下列说法错误的是 A OM ON uu uu r uuu r 的取值范围为 32 2 0 B OMON u uu u ruu u r 的取值范围为 0 2 2 C OMON u uu u ruuu r 的取值范围为 222 2 22 D 若OMON uuu u ru uu r 则实数的取值范围为 32 2 32 2 第二部分 非选择题 共110分 二 填空题共 6 小题 每小题 5 分 共 30 分 9 复数 2i 1 i 10 已知点 2 0 是双曲线 C 2 2 2 1 x y a 的一个顶点 则C的离心率为 11 直线 2xt yt t为参数 与曲线 2cos sin x y 为参数 的公共点个数为 12 在ABC中 若2 3 6 caA 则sin cos 2 CC 13 一次数学会议中 有五位教师来自 A B C三所学校 其中 A学校有2位 B学校有 2位 C学校有1位 现在五位老师排成一排照相 若要求来自同一学校的老师不相邻 则 共有 种不同的站队方法 14 已知 3 3 xx a fx xxxa 若fx有两个零点 则 a的取值范围是 当2a 时 则满足13fxfx的x的取值范围是 三 解答题共 6 小题 共 80 分 解答应写出文字说明 演算步骤或证明过程 15 本小题13 分 已知 2 2 3sincos2cos1f xxxx 求 6 f 的值 求 f x的单调递增区间 16 本小题13 分 流行性感冒多由病毒引起 据调查 空气月平均相对湿度过大或过小时 都有利于一些 病毒繁殖和传播 科学测定 当空气月平均相对湿度大于65 或小于40 时 有利于病毒 繁殖和传播 下表记录了某年甲 乙两个城市12 个月的空气月平均相对湿度 第一季度第二季度第三季度第四季度 1 月2 月3 月4 月5 月6 月7 月8 月9 月10 月11 月12 月 甲地54 39 46 54 56 67 64 66 78 72 72 59 乙地38 34 31 42 54 66 69 65 62 70 a b 从上表12 个月中 随机取出1 个月 求该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁 殖和传播的概率 从上表第一季度和第二季度的6 个月中随机取出2 个月 记这 2 个月中甲 乙两地 空 气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份的个数为 X 求X的分布列 若108ab 设乙地上表12 个月的 空气月平均相对湿度的中位数为M 求M的 最大值和最小值 只需写出结论 17 本小题14 分 已知三棱锥P ABC 如图 1 的平面展开图 如图2 中 四边形ABCD为边长为2 的正方形 ABE和 BCF均为正三角形 在三棱锥P ABC中 证明 平面PAC 平面 ABC 求二面角A PC B 的余弦值 若点M在棱PC上 满足 CM CP 1 2 3 3 点N在棱BP上 且BMAN 求 BN BP 的取值范围 图2 图1 C A F E A D C B B P 18 本小题 13 分 已知函数 ln x f x xa 当0a时 求函数 f x的单调递增区间 当0a时 若函数 f x的最大值为 2 1 e 求a的值 19 本小题14 分 已知椭圆C 22 22 10 xy ab ab 的离心率为 3 2 且点2 1T在椭圆上 设与OT 平行的直线l与椭圆C相交于 P Q两点 直线 TP TQ分别与x轴正半轴交于 MN两点 求椭圆C的标准方程 判断OMON的值是否为定值 并证明你的结论 20 本小题13 分 设 1 11 21 2 12 22 1 2 n n i jn n nnn n aaa aaa Aa aaa L L MMOM L 是由1 2 3 2 n组成一个n行n列的 数表 每个数恰好出现一次 2n且 nN 若存在1in 1jn 使得 i j a既是第i行中的最大值 也是第j列中的最小值 则称数表A为一个 N数表 i j a为数表A的一个 N值 对任意给定的n 所有 N数表 构成的集合记作 n 判断下列数表是否是 N数表 若是 写出它的一个 N值 123 456 789 A 147 825 693 B 求证 若数表A是 N数表 则A的 N值 是唯一的 在 19 中随机选取一个数表A 记A的 N值 为X 求X的数学期望 E X 海淀区高三年级第二学期期中练习 数学 理 参考答案与评分标准 一 选择题共8 小题 每小题5 分 共 40 分 在每小题列出的四个选项中 选出符合题目 要求的一项 题号12345678 答案CADBADDB 二 填空题共6 小题 每小题5 分 共 30 分 题号91011121314 答案 1i 5 2 2 3 3 1 3 48 3 3 1x 注 第 12 14 题第一空均为3 分 第二空均为2 分 三 解答题共6 小题 共80 分 解答题应写出解答步骤 15 本题满分13 分 2 2 3 sincos2cos1 6666 f 2 133 2 321 222 2 3 分 3sin 2cos2f xxx 2sin 2 6 x 因为函数sinyx的单调递增区间为 2 2 22 kk kZ 令222 262 kxk kZ 解得 36 kxk kZ 故 f x的单调递增区间为 36 kk kZ 13 分 16 本题满分13 分 设事件 A 从上表 12 个月中 随机取出1 个月 该月甲地空气月平均相对湿度 有利 于病毒繁殖和传播 用 i A表示事件抽取的月份为第i月 则 123456789101112 AAAAAAAAAAAA共 12 个基本事件 26891011 AAAAAAA共 6 个基本事件 所以 61 122 P A 4 分 在第一季度和第二季度的6 个月中 甲 乙两地 空气月平均相对湿度都有利于病毒繁 殖和传播的月份只有2 月和 6 月 故 X所有可能的取值为0 1 2 2 4 2 6 62 0 155 C P X C 11 24 2 6 8 1 15 C C P X C 2 2 2 6 1 2 15 C P X C 随机变量X的分布列为 X 012 P 2 5 8 15 1 15 M的最大值为58 最小值为54 13 分 17 本题满分14 分 方法1 O P C A B 设AC的中点为O 连接BO PO 由题意 2PAPBPC 1PO 1AOBOCO 因为在PAC中 PAPC O为AC的中点 所以POAC 因为在POB中 1PO 1OB 2PB 所以POOB 因为ACOBOI AC OB平面ABC 所以PO平面ABC 因为PO平面PAC 4 分 所以平面PAC平面ABC 方法 2 O P C A B 设AC的中点为O 连接BO PO 因为在PAC中 PAPC O为AC的中点 所以POAC 因为PAPBPC POPOPO AOBOCO 所以POA POB POC 所以90POAPOBPOC 所以POOB 因为ACOBOI AC OB平面ABC 所以PO平面ABC 因为PO平面PAC 4 分 所以平面PAC平面ABC 方法 3 O P C A B Q 设AC的中点为O 连接PO 因为在PAC中 PAPC 所以POAC 设AB的中点Q 连接PQ OQ及OB 因为在OAB中 OAOB Q为 AB的中点 所以 OQAB 因为在 PAB中 PAPB Q为AB的中点 所以PQAB 因为PQOQQI PQ OQ平面OPQ 所以 AB 平面OPQ 因为OP平面OPQ 所以OPAB 因为ABACAI AB AC平面ABC 所以PO平面ABC 因为PO平面PAC 4 分 所以平面PAC平面ABC 由PO平面ABC OBAC 如图建立空间直角坐标系 则 x O y z P C A B 0 0 0 O 1 0 0 C 0 1 0 B 1 0 0 A 0 0 1 P 由OB平面APC 故平面APC的法向量为 0 1 0 OB uu u r 由 1 1 0 BC uu u r 1 0 1 PC u uu r 设平面PBC的法向量为 nx y z r 则 由 0 0 BC PC uuu r uuu r n n 得 0 0 xy xz 令1x 得1y 1z 即 1 1 1 n r 13 cos 3 3 1 n OB n OB nOB r uu u r r uuu r ruuu r 由二面角APCB是锐二面角 所以二面角APCB的余弦值为 3 3 9 分 设BNBP uuu ruuu r 01 则 1 1 0 1 0 1 1 1 BMBCCMBCCP uuuu ru uu ruuu u ruuu ruuu r 1 1 0 0 1 1 1 1 ANABBNABBP uuu ruuu ruuu ruuu ruuu r 令 0BMAN uuuu r uuu r 得 1 1 1 1 0 即 1 1 11 是关于 的单调递增函数 当 1 2 3 3 时 1 2 4 5 所以 1 2 4 5 BN BP 14分 18 本题满分13 分 当0a时 ln x f x x 故 22 1 ln 1ln xx x x fx xx 令 0fx 得0 xe 故 f x的单调递增区间为 0 e 4 分 方法1 22 ln1ln xaa xx xx fx xaxa 令 1ln a g xx x 则 22 1 0 axa gx xxx 由 0 a g e e 1 11 1 1 1 1 0 a aa a gaa ee e 故存在 1 0 a xe e 0 0g x 故当 0 0 xx时 0g x 当 0 xx时 0g x x0 0 x0 x0 x fx 0 f x 极大值 故 02 1 fx e 故 0 0 0 2 0 1ln0 ln1 a x x x xae 解得 2 0 2 x a e e 13 分 故 a的值为 2 e 方法 2 f x的最大值为 2 1 e 的充要条件为对任意的 0 x 2 ln1x xae 且存 在 0 0 x 使得 0 2 0 ln1x xae 等价于对任意的 0 x 2 lnaxxe 且存 在 0 0 x 使得 2 00 lnaxxe 等价于 2 lng xxxe的最大值为 a Q 2 1gx x e 令 0g x 得 2 xe x 2 0 e 2 e 2 e g x0 g x 极大值 故 g x的最大值为 22222 lng eeeee 即 2 ae 13 分 19 本小题14 分 由题意 22 222 41 1