卷积积分计算 [卷积积分的基本计算方法资料]

常州工学院学报 眼 无 卷积积分的基本计算方法 王 晓平 南京邮电学院应用数理系 , 江苏南京 摘要确定卷积积分的积分限和在相应区间上的被积函数是计算卷积积分的两个难点 。

利用 卷积的定义可以解决 比较简单的函数卷积问题 , 图解法则适用于求分段函数的卷积 。

如果参与卷 积运算的函数含冲激函数或它的导数和积分 , 那么用算子法并结合卷积的基本特性计算则较方便 。

关键词卷积积分图解等效特性冲激函数 算子 中图分类号文献标识码文章编号 一一一 卷积积分是一种特殊的积分 , 它在积分变换 、微分方程、信号与系统分析等学科 中应用较广 , 是一门重要 的数学工具 。

现在以一个例子说明计算卷积的基本方法 。

仔设函数 , 二 。

才一 、 ,一 , ‘ 一亡“ , 试计算其卷积丫 ‘ , ‘ 。

利用卷积定义计算 根据定义 , · , 卜 二 · , 一 · 计算卷积 , 确定卷积积分的积分限和在相应区间上的 被积函数是计算卷积积分的两个难点 。

首先要注意变量 二 和的辩证关系在积分运算过程中 , 是积分变量 , 是参变量积分后的结果是的 函数 。

其次卷积的积分区间既与函数 、几 一 非零值的区间有关 , 也与 、九 一 图形的相对 位置有关 。

因为函数几 一 非零值与的取值的变化有关 , 所以对于的不同取值范围 , 积分 ‘ 二 ,· , 一 · 就有不同的积分限 。

解法一利用卷积定义 ’’ 二一 一 其它 , 一 一‘一 “ 一 二 一一 · 、 、厂 , · 卜 二 · 显然这个积分值与函数 几 一 , 护 一‘一 一 。

所取的非零值有关 , 即与参数的取值有关 。

, ①当时 , 因 , 所以 一 二 二 , 关 九 一‘一 二 ②当时 , 只有当时 一 二 , ‘ 几 几 一‘一 一 一 ‘ 收稿日期 一 一 第期 王晓平 卷积积分的基本计算方法 ③ 当时 , 因 , 所以 一 三 , ‘ 几 一‘一 一 一 ‘。

产 一一 综上所述 , 有 ‘ 介 一 一 一 夕 , 护 ‘ 、 代 图解计算 作出 , 几动的图形 , 反褶得九 一 的图形 , 平移得 介 一 的图形 。

移动图形 几 一 , 观察在的不同取值范围内 , 九 一 与的图形的重叠部分 。

根据 九 一 与的图形的重叠部分定出积分限和在相应区间上的被积函数 。

解法二作出 ,, 九 一 , 几 一 的图形 , 如图 ,,, 所示 。

人 五 一砂 图 移动图形九 一 , 观察在的不同取值范围内 , 几 一 与的图形的重叠部分 。如 图 , 所示 。

关了司 儿 一习 一一一 产 撼撼撼 图 ①当时 , 九 一 动的图形与的图形没有重叠部分见图 , 所以 , · 二 ‘一 一 一 · ②当时 , 几 一 的图形与的图形仅在 , 内有重叠 , 见图 , 所以 二 才 · 、 才 一 一一, 一 一 ③当时 , 介 一 的图形与的图形仅在〔 , 内有重叠 , 见图 , 所以 , · 。

艺,一 丁 一 忿一 , 一 护 一 一 由此可见 , 利用图解法定限 , 直观 、明 了 、简洁。

利用卷积的特性计算 卷积作为一种数学运算方法 , 具有某些特殊的有用特性 。

在卷积运算中要注意应用卷积的特性简化运 算 , 尤其要重视应用奇异函数的卷积特性 微积分等效特性 ‘ 几 一 · ··· 常州工学院学报 年 一般地 仁〕 ‘ ,‘ , 注 , 为正整数时表示求导的阶数 ,, 为负整数时表示求积分的次数 延时特性 占 是卷积的单位元 占 是 。秒的延时器 占 ’ 是微分器 若、 夕 , 则 一 , 一 夕一 一 占 占 一。一。

是积分器 ‘ 母 ‘ 二 厂 一 ⋯ ,‘ · , 一 一“‘ ’ 。

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但要注意 , 卷积的微积分等效特性成立是有条件的 关 一 一 ‘ 、 , 卜 。或 ‘ 二 、 ,, 一 。

· 例如 , 若利用卷积运算的微积分特性计算 , 得 召一、 ,一 塑 二 ‘ 九 一 。

, 这是一个错误结 一 刃 果 。事实上, 一 卜 〔止 、 ,· 、 , 一一 一 才一 , 一 乙一 , 一 。

算子计算 微分冲激法 首先 , 引人算子 的概念 。

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, 正戈 ‘不民广‘’ 气‘’ , 一 气’又艺’ , 则孙 特另” , 将算子 ,和去 作用于冲激函数“, , 可得 。和 土分别为微分算子和积分算子 。

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一 一的一一‘ 这说明 , 算子 , 和粤可将冲激函数。

, 的各阶导数和积分转化为由算子, 尸 和土组成的有理式 , 并且可 尹 以象一般有理式一样运算 。

进一步讨论可得 ③告 占“ , ④ 八 占 ‘ ’ 。, 、 ,、、, 不 二 况几 , ‘ , 一介二 人山 ’ 」毛, ,尸 ,了不万 。

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, , 利用知 一 , 将 ‘ 以分 · ,, 的 形式代人卷积公式 , 可将卷积的计算变成算子奥对冲激函数的运算 , 从而较容易地求出原函数的卷积 。

‘ 这种利用微分和积分算子 , 和粤计算函数卷积的方法 , 称为算子法 。

’ 一 ‘ ”” 一 ” ’ 一 ’ 一 ” 一’ 一 ’ 一一 ’‘ ” 一 ’一‘ ” 一 ’ 一 ’一’ 解法四利用算子法可得 因为 ’ 关 、 〔 一一 〕 关 一 ‘ 关 一‘ 一一 一‘ 一 第期王晓平 卷积积分的基本计算方法 而 。关 一‘ 利用延时特性 , 一 所以 ‘ 几 、,、、,、 — 又 丁了尸百 亡气 丫万尸甲尸尸二戈亡气 十又十 「 牛 ,了一下万百 十 一 一‘ ‘。一‘ 二一 一‘ 一 , 卜 一 一‘一 一 一 一 ‘ 一一 一‘一 一 。

上面我们介绍了计算函数卷积的四种基本方法 , 它们各有其应用场合 , 各有其所长 , 应该根据参与卷积 的函数的不同特点而灵活应用 。

〔 参考文献〕 〔刘经燕等工程实用积分变换〔〕武汉 华中理工大学出版社 , 〕熊大国积分变换【」北京 北京理工大学出版社 , 〔陈生潭等信号与系统第版【」西安西安电子科技大学出版社 , 环孕廿代子任 飞 , 飞 卯眼馆 , 馆 呢 , , 川叫叩 责任编辑张秀兰