小升初培优（三） 找规律、定义新运算和程序运算 一、课堂要求 二、知识结构 l.找规律 解题思维过程从简单、局部或特殊情况人手，经过提炼、归纳和猜想，探索规律，获得结论．有时还需要通过类比联想才能找到隐含条件，一般有下列几个类型 1-列数的规律把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号n之间的关系． 2-列等式的规律用含有字母的代数式总结规律，注意此代数式与序号n之间的关系． 3图形（图表）规律观察前几个图形，确定每个图形中图形的个数或图形总数与序号n之间的关系． 4图形变换的规律找准循环周期图形变换的特点，然后用图形变换总次数除以一个循环变换周期，进而观察商和余数． 5数形结合的规律观察前n项（一般前3项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论．常见的数列规律 n为正整数． n为正整数． n为正整数． n为正整数． n为正整数． n为正整数． n为正整数． n为正整数． 9特殊数列 ①斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，，从第三个数开始每一个数等于与它相邻的前两个数的和. ②三角形数 2.定义新运算 1基本思路严格按照新定义的运算规则，把已知的数代人，转化为加、减、乘、除的运算，然后按照基本运算过程、运算律进行运算． 2注意事项①新的运算不一定符合运算律，特别注意运算顺序． ②每个新定义的运算符号只能在本题中使用． 3.程序计算 解题的关键是要准确理解新程序的数学意义，进而转化为数学问题． 4.数学能力探究、归纳总结和知识迁移的能力. 本节重点讲解两大能力，三种题型找规律、定义新运算和程序计算． 三、全能突破 小试牛刀 1．根据图2-3-1中数字的规律，在图形中填空． 2．观察下面一列整式照此规律第6个整式是 ，第n 个（n≥1且为整数）整式是 3．正整数按图2-3-2中的规律排列．请写出第45行，第46列的数字 4．图2-3-3所示是某广场用地板铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板砖，周围是正三角形和正方形的地板砖．从里向外的第1层包括6个正方形和6个正三角形，第2层包括6个正方形和18个正三角形，以此递推，第10层中含有正三角形个数是 个． 5．如图2-3-4所示，给正五边形的顶点依次编号为1，2，3，4，5，若从某一顶点开始，沿正五边形的边顺时针行走，顶点编号的数字是几，就走几个边长，则称这种走法为一次“移位”，如小宇在编号为3的顶点时，那么他应走3个边长，即从3→4→5→1为第一次“移位”，这时他到达编号为1的顶点；
然后从1→2为第二次“移位”．若小宇从编号为2的顶点开始，第10次“移位”后，则他所处顶点的编号是 ；
第2012次“移位”后，则他所处顶点的编号是 ． 6．观察下列等式 则第n（n是正整数）个等式为 7．我们规定一种运算若则 8．魔术师为大家表演魔术，他请观众想一个数，然后将这个数按图2-3-5所示的步骤操作 魔术师立刻说出观众想的那个数． 1如果小明想的数是-1，那么他告诉魔术师的结果应该是 ， 2如果小聪想了一个数并告诉魔术师结果为93，那么魔术师立刻说出小聪想的那个数是 3观众又进行了几次尝试，魔术师都能立刻说出他们想的那个数，请你说出其中的奥妙． 能 力 提 升 9．已知以上算式结果的个位数字分别为4，6，4，6，，按照上面的研究方法确定的个位数字为 10．如图2-3-6所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是 ． 11．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如他们研究过图2-3-7 a中的1，3，6，10，，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；
类似地，称图2-3-7b中的1，4，9，16，，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是 12．1探究数字“黑洞”“黑洞”原指非常奇怪的天体，它的体积小，密度大，吸引力强，任何物体到它那里都别想再“爬出来”，无独有偶，数字中也有类似的“黑洞”，满足某种条件的所有数，通过一种运算，都能被它“吸”进去，无一能逃脱它的魔掌．譬如任意找一个3的倍数，先把这个数每个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新的数，然后把这个新数每个数位上的数字立方再求和，重复运算下去，就能得到一个固定的数T，我们称它为数字“黑洞”，T为何具有如此魔力，通过认真的观察、分析，你一定能发现它的奥秘此短文中的T是 ． 2任取一个自然数串，数出这个数中的偶数字个数、奇数字个数及所有数字的个数，用这3个数组成下一个数字串，重复上述程序，就能得到一个固定的数，我们称它为数字“黑洞”，则这个固定的数为 ． 13.在下表中，我们把第i行第j列的数记为（其中i，j都是不大于5的正整数），对于表中的每个数 规定如下当时，当时，例如当时，按此规定， ．；
表中的25个数中，共有 个1；
计算 的值为 14.为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文一密文（加密），接收方由密文一明文（解密），已知加密规则如图2-3-8所示，例如，明文1，2，3，4对应密文5，7，18，16.当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为 ． 15．已知且m，n均为正整数，如果将进行如图2-3-9所示方式的“分解”，那么下列三个叙述 ①在的“分解”中最大的数是11．②在的“分解”中最小的数是13． ③若的“分解”中最小的数是23，则m等于5． 其中正确的是 16．有一个运算程序，当n为常数时，则若 则 17.按图2-3-10所示的程序计算 若输入x 100，输出结果是501，若输入x 25，输出结果是631，若开始输入的x值为正整数，最后输出的结果为556，则开始输入的x的可能值为 ． 18．如图2-3-11所示，从左到右，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等． 9 x -6 2 图2-3-11 1可求得x ．第2012个格子中的数为 ． 2判断前m个格子中所填整数之和是否可能为20127若能，求出m的值；
若不能，请说明理由；
19．阅读图2-3-12并回答下列问题 1若A为785，则E ；
2按框图流程，取不同的三位数A，所得E的值都相同吗如果相同，请说明理由；
如果不同，请求出E的所有可能的值；
3将框图中的第一步变为“任意写一个个位数字不为0的三位数A，它的百位数字减去个位数字所得的差大于2”，其余的步骤不变，请猜想E的值是否为定值并对你猜想的结论加以证明． 中 考 链 接 20．图2-3-13所示为手的示意图，在各个手指间标记字母A，B，C，D.请你按图中箭头所指方向（即的方式）从A开始数连续的正整数1，2，3，4，，当数到12时，对应的字母是 ；
当字母C第201次出现时，恰好数到的数是 ；
当字母C第2n 1次出现时（n为正整数），恰好数到的数是 （用含n的代数式表示）． 21．符号“f“表示一种运算，它对一些数的运算结果如下 利用以上规律计算 22．1如图2-3-14所示的运算程序中，若开始输入的x值为96，我们发现第1次输出的结果为48，第2次输出的结果为24，，第2009次输出的结果为 ． 2计算机中常用十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表所示 十六进制 O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 十进制 O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 例如，用十六进制表示则 难 点 突 破 23.图2-3-15所示是一个流程图，图中“结束”处的计算结果是 24.对于两数a和b，给定一种运算则在下列等式中 正确的是 填序号）． 25.正整数，n小于100，并满足等式其中[x]表示不超过x的最大整数，这样的正整数 n有多少个