南师大苏州实验学校高三阶段测试 数学试卷 2020.05.19 一、填空题本大题共14小题，每小题5分，共70分 ．请将答案写在答题卡相应位置． 1．集合A＝{1，0}，B＝{，3}，若AB＝{0，1，2，3}，则实数a的值为 ． 2．已知复数，复数满足，则复数 ． 3．某校有200名师生参加了全程马拉松比赛，他们的成绩的频率分布直方图如图，则用时不超过4h的师生大约有 名． 4．现有4名学生A，B，C，D申报清华、北大的2020年强基计划招生，每校有两人申报，则“A，B两人恰好申报同一所大学”的概率为 ． 5．上图求3＋6＋9＋＋2019的值的伪代码中，正整数m的最大值为 ． （第3题） （第5题） 6．有一个半径为4的球是用橡皮泥制作的，现要将该球所用的橡皮泥重新制作成一个圆柱和一个圆锥，使得圆柱和圆锥有相等的底面半径和相等的高，若它们的高为8，则它们的底面圆的半径是 ． 7．已知等差数列的前n项和为，若1≤≤3，3≤≤6，则的取值范围是 ． 8．已知，，函数过点0，，且在，上单调递增，则的取值范围是 ． 9．在△ABC中，若D在边AB上，且AD＝DB，F在线段CD上，设，，，则的最小值为 ． 10．已知数列为正项的递增等比数列，，，记数列的前n项和为，则使不等式成立的最大正整数n的值是 ． 11．已知双曲线a＞0，b＞0的左、右焦点分别为F1、F2，直线MN过F2，且与双曲线右支交于M、N两点，若cos∠F1MN＝cos∠F1F2M，，则双曲线的离心率等于 ． 12．已知a＞0，函数在[﹣1，1]上的最大值为2，则a＝ ． 13．已知点，点A在圆上，点B在圆上，若，则的最大值是 ． 14．用max{a，b}表示a，b中的最大值，设函数＝max{，}（x＞0）有三个零点，则实数k的取值范围是 ． 二．解答题本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤． 15．已知△ABC中，（S表示△ABC的面积）． （1）若BC＝2，求△ABC外接圆的半径；
（2）若B﹣C＝，求sinB的值． 16．如图，三角形PCD所在的平面与等腰梯形ABCD所在的平面垂直，AB＝AD＝CD，AB∥CD，CP⊥CD，M为PD的中点． （1）求证AM∥平面PBC；
（2）求证BD⊥平面PBC． 17．如图，一条东西流向的笔直河流．现利用监控船D监控河流南岸相距150米的A、B两处（A在B的正西侧）．监控中心C在河流北岸，测得∠ABC＝45，∠BAC＝75，AB＝m．监控过程中，保证监控船D观测A和监控中心C的视角为120．A，B，C，D视为在同一个平面上，记△ADC的面积为S，∠DAC＝． （1）求AC的长度；
（2）试用表示S，并求S的最大值． 18．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的离心率为，AB为椭圆的一条弦（不经过原点），直线经过弦AB的中点，与椭圆C交于P，Q两点，设直线AB的斜率为． （1）若点Q的坐标为1，，求椭圆C的方程；
（2）求证为定值；
（3）过P作x轴的垂线，垂足为R，若直线AB和直线QR倾斜角互补，且△PQR的面积为，求椭圆C的方程． 19．已知函数． （1）当m＝1时，求在[﹣1，1]最小值；
（2）若有两个零点，求m的取值范围． 20．设是各项均为非零实数的数列的前n项和，给出如下两个命题 命题p是等差数列；
命题q等式对任意n恒成立，其中k、b是常数． （1）若p是q的充分条件，求k，b的值；
（2）对于（1）中的k与b，问p是否为q的必要条件，请说明理由；
（3）若p为真命题，对于给定的正整数nn＞1和正数M，数列满足条件≤M，试求的最大值． 南师大苏州实验学校高三阶段测试 数学试卷（附加题） 20200519 21A. 已知矩阵,求 21B. 在平面直角坐标系xOy中，射线lx≥0，曲线C1的参数方程为（为参数），曲线C2的方程为；
以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程为． （1）写出射线l的极坐标方程以及曲线C1的普通方程；
（2）已知射线l与C2交于O，M，与C3交于O，N，求的值． 22.为迎接全国高中毕业生体能测试，学校组织学生开展为期两个月的某项运动训练活动，并在结束后对学生进行了考核．记X表示学生的考核成绩，并规定X≥85为考核优秀．为了了解本期训练活动的效果，在参加训练的学生中随机抽取了30名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图． （1）从参加训练的学生中随机选取1人，请根据图中数据，估计这名学生考核优秀的概率；
（2）从图中考核成绩满足X[70，79]的学生中任取3人，设Y表示这3人重成绩满足≤10的人数，求Y的分布列和数学期望． 23．已知． （1）求的值；
（2）求的值． 南师大苏州实验学校高三阶段测试 参考答案 1、0 2、 3、50 4、 5、2022 6、 7、 8、 9、64 10、6 11、2 12、3或 13、 14、（3,5） 16、略 11