〖考前绝密〗 一中2019年高二年级第二次月考数学（文）试卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分） 1．已知复数，在复平面对应的点分别为，则的虚部是 A． B．-1 C． D．- 2．已知变量之间的线性回归方程为，且变量之间的一组关系数据如下表所示，则下列说法错误的是 A．变量之间呈现负相关关系 B．可以预测，当时， C． D．由表格数据知，该回归直线必过点 3．“三角函数是周期函数，是三角函数，所以是周期函数．”在以上演绎推理中，下列说确的是 A．推理完全正确 B．大前提不正确 C．小前提不正确 D．推理形式不正确 4．正项等差数列中的，是函数的极值点，则 A．2 B．3 C． D． 5．下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是 k4 A．1 B．2 C．3 D．4 6．如果把的三边，，的长度都增加，则得到的新三角形的形状为 A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．由增加的长度决定 7．某四棱锥的三视图如图所示，其俯视图为等腰直角三角形，则该四棱锥4个侧面中，直角三角形共有 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．已知命题；
命题.若为假命题，则实数的取值围是 A． B． C． D． 9．已知抛物线,焦点为，点,直线过点与抛物线交于两点,若,则直线的斜率等于 A． B．2 C． D． 10．已知正数均小于2，若、、2能作为三角形的三条边长，则它们能构成钝角三角形的三条边长的概率是 A． B． C． D． 11．已知双曲线中，左右顶点为，左焦点为，为虚轴的上端点，点在线段上（不含端点）,满足，且这样的P点有两个，则双曲线离心率的取值围是 A． B． C． D． 12．已知函数，若不等式恰有三个不同的整数，则的取值围 A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡上.） 13．已知函数，则___________ 14．已知向量，且，若实数均为正数，则最小值是___________ 15．已知一个边长为，面积为的正三角形的切圆半径，由此类比到空间，若一个正四面体的一个面的面积为，体积为，则其切球的半径为____________ 16．若函数与的图象存在公共切线，则实数的最大值为___________ 三、解答题（共计70分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤） 17．设极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，已知曲线的极坐标方程为 （1）求曲线的直角坐标方程；
（2）设直线（为参数）与曲线交于， 两点，求的长. 18．市在2018年召开了全球VR产业大会，为了增强对青少年VR知识的普及，某中学举行了一次普及VR知识讲座，并从参加讲座的男生中随机抽取了50人，女生中随机抽取了70人参加VR知识测试，成绩分成优秀和非优秀两类，统计两类成绩人数得到如左的列联表 优秀 非优秀 总计 男生 a 35 50 女生 30 d 70 总计 45 75 120 （1）确定a,d的值；
（2）试判断能否有90的把握认为VR知识测试成绩优秀与否与性别有关；
0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 （3）现从该校测试成绩获得优秀的同学中按性别采用分层抽样的方法，随机选出6名组成宣传普及小组．从这6人中随机抽取2名到校外宣传，求“到校外宣传的2名同学中至少有1名是男生”的概率. 附 19．如图，在三棱锥中，，，，， （1）证明平面平面；
（2）已知为棱上一点，若，求线段的长. 20．已知数列 满足 ，且 . （1）求数列的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 项和 . 21．已知椭圆的焦距为，且经过点． （1）求椭圆的方程；
（2）A是椭圆与y轴正半轴的交点，椭圆上是否存在两点M，N，使得△AMN是以A为直角顶点的等腰直角三角形若存在，请说明有几个，并求出直线MN；
若不存在，请说明理由． 22．已知函数， （1）若，求的单调区间和极值；
（2）设，且有两个极值点，，若，求的最小值. 一中2019年高二年级第二次月考数学（文）答案 15 DCCCA 610 ADABB 1112 AD 13、3 14、16 15、 16、 e 17 【答案】（1）；
（2）. 【解析】（1）曲线的极坐标方程为，即. ∴曲线的直角坐标方程为. 5分 （2）设直线（为参数）的直角坐标方程为. ，配方为，可得圆心，半径 ∴圆心到直线的距离 ∴10分 18【答案】（1），；
（2）没有；
（3） 【解析】（1），，解得，；
2分 （2） 由题可知，得到，故没有。6分 （3） 结合，结合分层抽样原理，抽取6人， 则男生中抽取2人，记，，女生抽取4人，记，，， 从6人中抽取2人、、、、、、、、、、、、、、共有5种；
如果2人都是女生、、、、、共有种，10分 故概率为12分 19 【答案】（1）详见解析（2） 【解析】（1）证明取的中点，连接， 因为，所以 又因为，所以 因为，为的中点，所以 又，所以平面 因为平面，所以平面平面.6分 （2）因为，，，所以， 由（1）知平面，且，则 因为，所以 则，. 12分 20 【答案】（1）（2）当 为偶数时， ，当 为奇数时， . 【解析】解1由于 .4分 2 由 ，可得 ，7分 当为偶数时， ， 当为奇数时， .12分 21 【答案】 1 2 有3个，直线MN分别为 或 【解析】1由题意得，解得，所以椭圆的方程为4分 2 （法一）由题意可知，直线MN不可能垂直于x轴 ①当直线MN平行于x轴时，设 联立方程，得， MN中点为，则，，解得（舍）或 6分 ②当直线MN不平行于x轴时，设 ， 联立方程，消去整理，得 ， 由韦达定理得 带入韦达定理整理得 9分 又MN的中点P， 解得 综上所述，符合条件的三角形有3个，直线MN分别为或12分 （法二）由题意可知，直角边AM，AN不可能垂直或平行于x轴， 故可设AM所在直线的方程为，不妨设，则AN所在直线的方程为 联立方程，消去整理，得 解得，将带入，得 7分 同理可得 ， ，即 解得或10分 综上所述，符合条件的三角形有3个．当AM斜率时，AN斜率为－1 当AM斜率时，AN斜率为 当AM斜率时，AN斜率为 12分 22 【答案】（1）在单调递增，在单调递减; 极小值；
（2） 【详解】（1）将代入中，得到，求导， 得到，结合， 当得到 在单调递增，当，得到在单调递减， 且在时有极小值，4分 （2） 将解析式代入，得，求导 得到， 令,得到, 所以，， 8分 因为，所以设, 令， 则 所以在单调递减, 又因为 所以, 所以 或 又因为，所以 所以, 所以的最小值为12分