2020年福建省普通高中毕业班质量检查 数学理科试题 本试卷分第I卷选择题和第Ⅱ卷非选择题，共8页，全卷满分150分，考试时间120分钟． 参考公式 如果事件A、B互斥，那么PABPAPB． 如果事件A、B相互独立，那么PABPAPB． 如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率Pnk． 球的表面积公式 S4πR2，其中R表示球的半径． 球的体积公式 VπR3，其中R表示球的半径． 第I卷选择题 共60分 一、选择题本大题共12小题。每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请把正确答案填在题目后面的括号内． 1．复数i1一i等于 A．1i B．1一i C．一1i D．一1一i 2．设全集为R，A{x|1＜x＜1}，B{ x| x≥0}，则CRA∪B等于 A．{x|0≤x＜1} B．{x| x≥0} C．{x|x≤-1} D．{x|x＞-1} 3．已知某一随机变量 ξ 的概率分布列如下，且Eξ 6.3，则a的值为 ξ 4 a 9 P 0.5 0.1 b A．5 B．6 C．7 D．8 4．已知A、B为球面上的两点，O为球心，且AB3，∠AOB120，则球的体积为 A． B． C．36π D． 5．已知条件p k，条件q直线ykx2与圆x2y21相切，则p是q的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知数列的前n项和为Sn，且Sn是an。与1的等差中项，则an等于 A．1 B．-1 C．-1n D．-1n-1 7．若m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则以下命题正确的是 A．若m∥α，nα，则m∥n B．若m∥α，mβ，α∩βn，则m∥n C．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若α∩β m，m⊥n，则n⊥α 8．函数yAsinωxφ的周期为2π，其图象的一部分如图所示， 则此函数的解析式可以写成 A． sin22x B．sin2x一2 C．sinx一1 D．sin1一x 9．已知函数yfx1的图象关于点-1，0成中心对称，则函数yfx一定是 A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 lO．已知则方程fx2的实数根的个数是 A．0 B．1 C．2 D．3 11．某学校开设10门选修课程，其中3门是技能类课程，2门是理论类课程．学校规定每位学生应选修4门，且技能类课程和理论类课程每类至多选修1门，则不同的选修方法种数是 A．50 B．100 C．11O D．115 12．若函数fx为奇函数，且在0，∞内是增函数，又f20，则＜0的解集为 A．-2,0∪0,2 B．-∞，-2∪0,2 C．-∞，-2∪2，∞ D．-2,0∪2，∞ 第Ⅱ卷非选择题 共90分 二、填空题本大题共4小题，每小题4分。共16分．请把正确答案填在题目后面的横线上． 13．二项式6的展开式中，常数项为_____________. 14．椭圆的焦点及其短轴端点都在以原点为圆心的同一个圆上，则此椭圆的离心率为____． 15．已知向量a1，1，bsinx ，-cosx，x∈0，π，若a∥b ，则x的值是_______． 16．阅读下面材料，并回答问题 设D和D1是两个平面区域，且D1 D．在区域D内任取一点M，记“点M落在区域D1内”为事件A，则事件A发生的概率PA. 已知有序实数对a，b满足a∈[O，3]，b∈[0，2]，则关于x的一元二次方程x22axb20有实数根的概率是________． 三、解答题本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明。证明过程或演算步骤． 17．本小题满分12分 已知函数fxcos2xsinxcosxx∈R I求f的值；
Ⅱ求fx的单调递增区间． 18．本小题满分12分 在数列中，a11，an1c为常数，n∈N*，且a1，a2，a5成公比不等于1的等比数列． I求证数列是等差数列；
Ⅱ求c的值；
Ⅲ设bnanan1，数列的前n项和为Sn，求． 19．本小题满分12分 如图，在棱长为2的正方体ABCD -A1B1C1D1中，E、F分别为AA1，和CC1的中点． I求证EF∥平面ACD，；
Ⅱ求异面直线EF与AB所成的角；
Ⅲ在棱BB1上是否存在一点P，使得二面角P-AC-B的大小 为30若存在，求出BP的长；
若不存在，请说明理由． 20．本小题满分12分 国际上钻石的重量计量单位为克拉．已知某种钻石的价值υ美元与其重量ω 克拉的平方成正比，且一颗重为3克拉的该种钻石的价值为54000美元． I写出υ关于ω的函数关系式；
Ⅱ若把一颗钻石切割成重量比为1∶3的两颗钻石，求价值损失的百分率；
Ⅲ试用你所学的数学知识证明把一颗钻石切割成两颗钻石时，按重量比为11切割，价值损失的百分率最大． 注价值损失的百分率100％；
在切割过程中的重量损耗忽略不计 21．本小题满分12分 已知定点Aa，O a 0，B为x轴负半轴上的动点．以AB为边作菱形ABCD，使其两对角线的交点恰好落在y轴上． I求动点D的轨迹E的方程；
Ⅱ过点A作直线l与轨迹E交于P、Q两点，设点R - a，0，问当l绕点A转动时，∠PRQ是否可以为钝角请给出结论，并加以证明． 22．本小题满分14分 已知函数fxlnxa-x2-x在x 0处取得极值． I求实数a的值；
Ⅱ若关于x的方程，fx 在区间[O，2]上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围；
Ⅲ证明对任意的正整数n，不等式ln 都成立． 2020年福建省普通高中毕业班质量检查数学理科试题 参考答案及评分标准 说明 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则． 二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；
如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分． 一、选择题本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分． 1．A 2．C 3．C 4．B 5．A 6．D 7．B 8．D 9．A 10．D 11．D 12．A 二、填空题本题考查基础知识和基本运算。每小题4分。满分16分． 13．15；
14．；
15．；
16． 三、解答题本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．本小题主要考查三角函数的倍角公式、和角公式，三角函数的图象与性质等基础知识；
考查理解能力和运算能力．满分12分． 解4分 6分 8分 10分 即时，fx单调递增. ∴fx单调递增区间为[，]12分 18．本小题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识考查化归与转化的思想方 法；
考查推理与运算能力．满分12分． 解法一I ，且a11，显然an≠0 ，又c为常数， ∴数列是等差数列. 4分 Ⅱ由Ⅰ知，5分 又∵a1，a2，a5成等比数列，，解得c0或c2. 7分 当c0时，an1an，不合题意，舍去. ∴c2. 8分 Ⅲ由Ⅱ知c2，∴9分 10分 11分 .12分 解法二Ⅰ ，且a11，显然an≠0 ，2分 ，又c为常数， ∴数列是等差数列4分 Ⅱ、Ⅲ解法同解法一. 19．本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、二面角的概念等基础知识；
考查空间想象能力。逻辑思维能力和探索问题、解决问题的能力．满分12分． 解法一如图分别以DA、DC、DD1所在的直线为x 轴、 y轴、z轴建立空间直角坐标系D-xyz，由已知 得D0，0，0、A2，0，0、B2，2，0、 C0，2，0、B12，2，2、D10，0，2、 E1，0，2 、F0，2，1．2分 Ⅰ易知平面ACD1的一个法向量是 2，2，2. 4分 又∵-1,2，-1， 由 -24-20， ∴⊥，而EF平面ACD1， ∴EF∥平面ACD16分 Ⅱ ∵0,2，0，cos ∴异面直线EF与AB所成的角为arccos8分. Ⅲ设点P2，2，t0t≤2，平面ACP的一个法向量为x，y，z， 则 ∵0，2，t, -2，2，0， ∴取. 易知平面ABC的一个法向量， 依题意知，30或150， ∴|cos|10分 即，解得 ∵，∴在棱BB1上存在一点P，当BP的长为时， 二面角P-AC-B的大小为30. 12分 解法二Ⅰ同解法一知-