专题10 概率与统计 1．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】西游记三国演义水浒传和红楼梦是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过西游记或红楼梦的学生共有90位，阅读过红楼梦的学生共有80位，阅读过西游记且阅读过红楼梦的学生共有60位，则该校阅读过西游记的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 A．0.5B．0.6 C．0.7 D．0.8 【答案】C 【解析】由题意得，阅读过西游记的学生人数为90-806070，则其与该校学生人数之比为701000.7．故选C． 【名师点睛】本题考查抽样数据的统计，渗透了数据处理和数学运算素养．采取去重法，利用转化与化归思想解题． 2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分．7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是 A．中位数B．平均数 C．方差 D．极差 【答案】A 【解析】设9位评委评分按从小到大排列为． 则①原始中位数为，去掉最低分，最高分后剩余，中位数仍为，A正确；
②原始平均数，后来平均数，平均数受极端值影响较大，与不一定相同，B不正确；
③，，由②易知，C不正确；
④原极差，后来极差，显然极差变小，D不正确．故选A． 3．【2019年高考浙江卷】设0＜a＜1，则随机变量X的分布列是 则当a在（0,1）内增大时， A．增大B．减小 C．先增大后减小D．先减小后增大 【答案】D 【分析】研究方差随变化的增大或减小规律，常用方法就是将方差用参数表示，应用函数知识求解.本题根据方差与期望的关系，将方差表示为的二次函数，二次函数的图象和性质解题.题目有一定综合性，注重重要知识、基础知识、运算求解能力的考查． 【解析】方法1由分布列得， 则， 则当在内增大时，先减小后增大．故选D． 方法2则， 则当在内增大时，先减小后增大．故选D． 【名师点睛】易出现的错误有，一是数学期望、方差以及二者之间的关系掌握不熟，无从着手；
二是计算能力差，不能正确得到二次函数表达式． 4．【2019年高考江苏卷】已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是______________． 【答案】 【解析】由题意，该组数据的平均数为， 所以该组数据的方差是． 5．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为______________． 【答案】 【分析】本题考查通过统计数据进行概率的估计，采取估算法，利用概率思想解题． 【解析】由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为，其中高铁个数为，所以该站所有高铁平均正点率约为． 【名师点睛】本题考查了概率统计，渗透了数据处理和数学运算素养，侧重统计数据的概率估算，难度不大．易忽视概率的估算值不是精确值而失误，根据分类抽样的统计数据，估算出正点列车数量与列车总数的比值． 6．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是______________． 【答案】 【分析】本题应注意分情况讨论，即前五场甲队获胜的两种情况，应用独立事件的概率的计算公式求解．题目有一定的难度，注重了基础知识、基本计算能力及分类讨论思想的考查． 【解析】前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以获胜的概率是前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以获胜的概率是综上所述，甲队以获胜的概率是 【名师点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；
易错点之二是思维的全面性是否具备，要考虑甲队以获胜的两种情况；
易错点之三是是否能够准确计算． 7．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图 记C为事件“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P（C）的估计值为0.70． （1）求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；
（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）． 【答案】（1）a0.35，b0.10；
（2）甲、乙离子残留百分比的平均值的估计值分别为4.05，6.00． 【解析】（1）由已知得0.70a0.200.15，故a0.35． b1–0.05–0.15–0.700.10． （2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为 20.1530.2040.3050.2060.1070.054.05． 乙离子残留百分比的平均值的估计值为 30.0540.1050.1560.3570.2080.156.00． 8．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成1010平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方1010平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束． （1）求P（X2）；
（2）求事件“X4且甲获胜”的概率． 【答案】（1）0.5；
（2）0.1． 【解析】（1）X2就是10∶10平后，两人又打了2个球该局比赛结束， 则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分． 因此P（X2）0.50.4（1–0.5）（1–0.4）0.5． （2）X4且甲获胜，就是10∶10平后，两人又打了4个球该局比赛结束， 且这4个球的得分情况为前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分． 因此所求概率为[0.5（1–0.4）（1–0.5）0.4]0.50.40.1． 9．【2019年高考天津卷理数】设甲、乙两位同学上学期间，每天730之前到校的概率均为．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立． （1）用表示甲同学上学期间的三天中730之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望；
（2）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在730之前到校的天数比乙同学在730之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率． 【答案】（1）分布列见解析，；
（2）． 【分析】本小题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．满分13分． 【解析】（1）因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天730之前到校的概率均为，故，从而． 所以，随机变量的分布列为 0 1 2 3 随机变量的数学期望． （2）设乙同学上学期间的三天中730之前到校的天数为， 则，且． 由题意知事件与互斥， 且事件与，事件与均相互独立， 从而由（1）知 ． 10．【2019年高考北京卷理数】改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下 支付金额（元） 支付方式 （0，1000] （1000，2000] 大于2000 仅使用A 18人 9人 3人 仅使用B 10人 14人 1人 （1）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率；
（2）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列和数学期望；
（3）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化说明理由． 【答案】（1）0.4；
（2）分布列见解析，E（X）1；
（3）见解析． 【解析】（1）由题意知，样本中仅使用A的学生有189330人，仅使用B的学生有1014125人，A，B两种支付方式都不使用的学生有5人． 故样本中A，B两种支付方式都使用的学生有100−30−25−540人． 所以从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率估计为． （2）X的所有可能值为0，1，2． 记事件C为“从样本仅使用A的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”，事件D为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”． 由题设知，事件C，D相互独立，且． 所以， ， ． 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 0.24 0.52 0.24 故X的数学期望． （3）记事件E为“从样本仅使用A的学生中随机抽查3人，他们本月的支付金额都大于2000元”． 假设样本仅使用A的学生中，本月支付金额大于2000元的人数没有变化， 则由上个月的样本数据得． 答案示例1可以认为有变化． 理由如下 P（E）比较小，概率比较小的事件一般不容易发生． 一旦发生，就有理由认为本月的支付金额大于2000元的人数发生了变化，所以可以认为有变化． 答案示例2无法确定有没有变化．理由如下 事件E是随机事件，P（E）比较小，一般不容易发生， 但还是有可能发生的，所以无法确定有没有变化． 11．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得分；
若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得分；
若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X． （1）求的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，表示“甲药的累计得分为时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则，，，其中，，．假设，． i证明为等比数列；
ii求，并根据的值解释这种试验方案的合理性． 【答案】（1）分布列见解析；
（2）i证明见解析，ii ，解释见解析． 【解析】X的所有可能取值为． ， ， ， 所以的分布列为 （2）（i）由（1）得． 因此，故， 即． 又因为， 所以为公比为4，首项为的等比数列． （ii）由（i）可