2020高中数学,2.5.1平面几何中的向量方法作业A,新人教A版必修4（通用）

2.5 平面向量应用举例 2．5.1 平面几何中的向量方法 一、基础过关 1． 在△ABC中，已知A4,1、B7,5、C－4,7，则BC边的中线AD的长是 A．2 B. C．3 D. 2． 点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足＝＝，则点O是△ABC的 A．三个内角的角平分线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条高的交点 3． 已知直线l13x＋4y－12＝0，l27x＋y－28＝0，则直线l1与l2的夹角是 A．30 B．45 C．135 D．150 4． 若O是△ABC所在平面内一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC的形状是 A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 5． 已知点A，1，B0,0，C，0，设∠BAC的平分线AE与BC相交于E，那么有＝λ，其中λ等于 A．2 B. C．－3 D．－ 6． 过点1,2且与直线3x－y＋1＝0垂直的直线的方程是____________． 7． 已知平面上三点A、B、C满足||＝3，||＝4，||＝5.则＋＋＝________. 8． 如图所示，若ABCD为平行四边形，EF∥AB，AE与BF相交于点N，DE与CF相交于点M. 求证MN∥AD. 二、能力提升 9． 已知非零向量与满足＝0且＝，则△ABC的形状是 A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．等腰非等边三角形 D．等边三角形 10．在直角坐标系xOy中，已知点A0,1和点B－3,4，若点C在∠AOB的平分线上且||＝2，则＝________________. 11．求证△ABC的三条高线交于一点． 12．三角形ABC是等腰直角三角形，∠B＝90，D是BC边的中点，BE⊥AD，延长BE交AC于F，连接DF.求证∠ADB＝∠FDC. 三、探究与拓展 13. 如图所示，正三角形ABC中，D、E分别是AB、BC上的一个三等分点， 且分别靠近点A、点B，且AE、CD交于点P.求证BP⊥DC. 答案 1．B 2.D 3.B 4.B 5.C 6．x＋3y－7＝0 7.－25 8．证明 ∵EF∥AB，∴△NEF∽△NAB， 设＝μμ≠1，则＝μ， ＝μ－1， 同理，由∥，可得＝μ－1， ∴＝－＝－ ＝μ－1， ∵μ≠1，令λ＝μ－1， ∴＝λ，∴AD∥MN. 9．D 10. 11．证明 如图所示，已知AD，BE，CF是△ABC的三条高． 设BE，CF交于H点， 令＝b，＝c，＝h， 则＝h－b， ＝h－c，＝c－b. ∵⊥，⊥， ∴h－bc＝0，h－cb＝0， 即h－bc＝h－cb 整理得hc－b＝0，∴＝0， ∴AH⊥BC，∴与共线． AD、BE、CF相交于一点H. 12．证明 如图所示，建立直角坐标系， 设A2,0，C0,2，则D0,1， 于是＝－2,1， ＝－2,2， 设Fx，y，由⊥， 得＝0， 即x，y－2,1＝0， ∴－2x＋y＝0.① 又F点在AC上，则∥， 而＝－x,2－y， 因此2－x－－22－y＝0， 即x＋y＝2.② 由①、②式解得x＝，y＝， ∴F，＝， ＝0,1， ＝， 又＝||||cos θ＝cos θ， ∴cos θ＝，即cos∠FDC＝， 又cos∠ADB＝＝＝， ∴cos∠ADB＝cos∠FDC， 故∠ADB＝∠FDC. 13．证明 设P＝λC，并设△ABC的边长为a，则有P＝P＋D ＝λC＋B＝λB－B＋B ＝2λ＋1B－λB， 又E＝B－B. ∵P∥E，∴2λ＋1B－λ ＝k－k. 于是有 解得，λ＝. ∴P＝C. ∴B＝B＋C＝B＋B. C＝B－B. 从而BC＝B＋BB－B ＝a2－a2－a2cos 60＝0.