第二十讲 三角函数的图象 班级________ 姓名________ 考号________ 日期________ 得分________ 一、选择题本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内． 1．精选考题天津下图是函数y＝Asinωx＋φx∈R在区间上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y＝sinxx∈R的图象上所有的点 A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 解析观察图象可知，函数y＝Asinωx＋φ中A＝1，＝π，故ω＝2，ω＋φ＝0，得φ＝，所以函数y＝sin，故只要把y＝sinx的图象向左平移个单位，再把各点的横坐标缩短到原来的即可． 答案A 2．精选考题全国Ⅱ为了得到函数y＝sin的图象，只需把函数y＝sin的图象 A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位 C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位 解析由y＝siny＝sin＝sin，即2x＋2φ＋＝2x－，解得φ＝－，即向右平移个长度单位．故选B. 答案B 3．精选考题重庆已知函数y＝sinωx＋φ的部分图象如图所示，则 A．ω＝1，φ＝ B．ω＝1，φ＝－ C．ω＝2，φ＝ D．ω＝2，φ＝－ 解析依题意得T＝＝4＝π，ω＝2，sin＝1.又|φ|0和gx＝2cos2x＋φ＋1的图象的对称轴完全相同．若x∈，则fx的取值范围是________． 解析∵fx与gx的图象的对称轴完全相同，∴fx与gx的最小正周期相等，∵ω0，∴ω＝2，∴fx＝3sin，∵0≤x≤，∴－≤2x－≤，∴－≤sin≤1，∴－≤3sin≤3，即fx的取值范围为. 答案 8．设函数y＝cosπx的图象位于y轴右侧所有的对称中心从左依次为A1，A2，，An，.则A50的坐标是________． 解析对称中心横坐标为x＝2k＋1，k≥0且k∈N，令k＝49即可得． 答案99,0 9．把函数y＝cos的图象向左平移m个单位m0，所得图象关于y轴对称，则m的最小值是________． 解析由y＝cosx＋＋m的图象关于y轴对称，所以＋m＝kπ，k∈Z，m＝kπ－，当k＝1时，m最小为π. 答案π 10．定义集合A，B的积AB＝{x，y|x∈A，y∈B}．已知集合M＝{x|0≤x≤2π}，N＝{y|cosx≤y≤1}，则MN所对应的图形的面积为________． 解析如图所示阴影面积可分割补形为ABCD的面积即BCCD＝π2＝2π. 答案2π 三、解答题本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤． 11．若方程sinx＋cosx＝a在[0,2π]上有两个不同的实数解x1、x2，求a的取值范围，并求x1＋x2的值． 分析设函数y1＝sinx＋cosx，y2＝a，在同一平面直角坐标系中作出这两个函数的图象，应用数形结合解答即可． 解设fx＝sinx＋cosx＝2sin，x∈[0,2π]． 令x＋＝t，则ft＝2sint，且t∈.在同一平面直角坐标系中作出y＝2sint及y＝a的图象，从图中可以看出当1＜a＜2和－2＜a＜1时，两图象有两个交点，即方程sinx＋cosx＝a在[0,2π]上有两个不同的实数解． 当1＜a＜2时，t1＋t2＝π， 即x1＋＋x2＋＝π， ∴x1＋x2＝；
当－2＜a＜1时，t1＋t2＝3π， 即x1＋＋x2＋＝3π， ∴x1＋x2＝. 综上可得，a的取值范围是1,2∪－2,1． 当a∈1,2时，x1＋x2＝；
当a∈－2,1时，x1＋x2＝. 评析本题从方程的角度考查了三角函数的图象和对称性，运用的主要思想方法有函数与方程的思想、数形结合的思想及换元法．解答本题常见的错误是在换元时忽略新变量t的取值范围，仍把t当成在[0,2π]中处理，从而出错． 12．已知函数fx＝Asinx＋φA＞0,0＜φ＜π，x∈R的最大值是1，其图象经过点M. 1求fx的解析式；
2已知α，β∈，且fα＝，fβ＝，求fα－β的值． 解1∵fx＝Asinx＋φA＞0,0＜φ＜π的最大值是1，∴A＝1. ∵fx的图象经过点M， ∴sin＝. ∵0＜φ＜π⇒φ＝， ∴fx＝sin＝cosx. 2∵fx＝cosx，∴fα＝cosα＝，fβ＝cosβ＝，已知α，β∈，所以 sinα＝＝，sinβ＝＝. 故fα－β＝cosα－β＝cosαcosβ＋sinαsinβ ＝＋＝. 13．精选考题山东已知函数fx＝sin2xsinφ＋cos2xcosφ－sin0φπ，其图象过点. 1求φ的值；
2将函数y＝fx的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝gx的图象，求函数gx在上的最大值和最小值． 解1因为fx＝sin2xsinφ＋cos2xcosφ－sin0φπ， 所以fx＝sin2xsinφ＋cosφ－cosφ ＝sin2xsinφ＋cos2xcosφ ＝sin2xsinφ＋cos2xcosφ ＝cos2x－φ， 又函数图象过点， 所以＝cos， 即cos＝1， 又0φπ， 所以φ＝. 2由1知fx＝cos，将函数y＝fx的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝gx的图象，可知 gx＝f2x＝cos， 因为x∈， 所以4x∈， 因此4x－∈， 故－≤cos≤1. 所以y＝gx在上的最大值和最小值分别为和－.