一、研究曲线的切线问题 根据函数yfx在点x0处的导数的几何意义，就是曲线yfx在点P（x0，fx0）处的切线的斜率，即k＝ ＝，所以切线方程为y－ fx0＝（x－x0）。
例1．求过点（2，0）且与曲线y＝相切的切线方程。
解注意到点（2，0）不是曲线y＝上的点，故设切点P（x0，y0） 因为＝（＝－x－2，所以k＝＝－x0－2， 所以＝－x0－2， ① 又点P（x0，y0）在曲线y＝上，所以x0y0＝1 ② 由①②解得x0 ＝1，y0＝1，所以k＝－1，切线方程为xy－2＝0。
注意在求过一点且与曲线相切的直线方程问题时，一定要先搞清点与曲线的位置关系。
2、研究运动物体的瞬时速度 根据课本引例我们知道如果物体的运动规律是s＝st，那么运动物体在某一时刻的瞬时速度就是其运动方程在t0处的导数，这也是导数的一个物理意义之一。
例2．物体的运动方程是s＝－ 。求物体在t＝3时的速度。
解＝（－ ＝－ 所以物体在t＝3时的速度＝＝－ ＝。
五、证明不等式 在高中数学学习过程中，我们常遇到一些不等式的证明，看似简单，但却无从下手，很难找到切入点，几种常用的证法都一一尝试，却很难奏效。这时我们不妨变换一下思维角度，从所证不等式的结构和特点出发，结合自己已有知识，构造一个新的函数，再借助导数确定函数的单调性，利用单调性实现问题的转化，从而使不等式得到证明。用导数方法证明不等式，其步骤一般是构造可导函数研究单调性或最值得出不等关系整理得出结论。
例3.求证其中 证明设则 即在上是增函数，又当时,有成立。
点评一般地，证明可以构造函数 如果，则在上是增函数，同时若由增函数的定义可知，时，有即证明了。
四、研究函数的单调性 函数的单调性是函数最基本的性质之一，是我们研究函数所要掌握的最基本的知识.它在中学数学中的用处是非常广泛的，其思维方法有一）、利用增（减）函数的定义判断单调性；
二）、导数法。利用在内可导的函数在上递增（或递减）的充要条件是（或），恒成立（但在的任意子区间内都不恒等于0）。方法一化简较为繁琐，比较适合解决抽象函数的单调性问题，而用导数知识来判断函数的单调性既快捷又容易掌握.，特别是对于具体函数更加适用。
例4．判断函数yxcosx在x∈［0，2π］上的单调性。
解令＝1－sinx＝0，得x＝，在［0，）中＞0，且y在［0，］上连续，故y在［0，］上单调递增；
在（，2π］中，＜0，且y在［，2π］上连续，故y在［，2π］上单调递增。
五、研究函数的极值 如果函数fx在x0处连续，且在x0两侧异号，那么x0就是函数fx的极值点。一般地，当函数fx在x0处连续时，判断fx0是极大（小）值的方法是 （1）如果在x0附近左侧＞0，右侧＜0，那么fx0是极大值点；
（2）如果在x0附近左侧＜0，右侧＞0，那么fx0是极小值点；
例5．求函数y＝13x－x3的极值。
解＝3－3x2 ，令＝0，解得x1＝－1，x2＝1， 当x＜－1时，＜0，函数y＝13x－x3是减函数，当－1＜x＜1时，＞0，函数y＝13x－x3是增函数，当x＞1时，＜0，函数y＝13x－x3是减函数， 所以当x＝－1时函数y＝13x－x3有极小值，极小值为－1；
当x＝1时，函数y＝13x－x3有极大值，极大值为3。
例6．已知函数fx＝x3－3ax22bx在x＝1处有极小值－1，试确定a、b的值，并求出fx的单调区间。
解＝3x2－6ax2b 由 f1 ＝1－3a2b＝－1 ＝3－6a2b＝0 解得a＝，b＝ ∴fx＝x3－x2－x，∴＝3x2－2x－1， 当x＜－或x＞1时，＞0；
当－＜ x＜1时，＜0 因此，在（－∞，－）、（1，∞）上为增函数；
在（－，1）上是减函数。
六、研究函数的最值 最值问题是高中数学的一个重点，也是一个难点.它涉及到了高中数学知识的各个方面，要解决这类问题往往需要各种技能，并且需要选择合理的解题途径.用导数解决这类问题可以使解题过程简化，步骤清晰，学生也好掌握.应注意函数的极值与最值的区别与联系，极值是一个局部性概念，最值是某个区间的整体性概念。
函数fx在［a，b］上最大值与最小值的求法 （1）求出fx在（a，b）内的极值；
（2）将各极值与fa，fb比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。
例7已知函数fx－x3＋3x2＋ax＋b在x＝1，f1处的切线与直线12x－y－1＝0平行． （1）求实数a的值；
（2）求fx的单调递减区间；
（3）若fx在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值． 解（1） ∵f ’x＝－3x2＋6x＋a ∴f ’1＝3＋a12,∴a9 （2） f ’x＝－3x2＋6x＋9．令f ‘xf－2． 因为在（－1，3）上f ‘x0， 所以fx在[－1, 2]上单调递增，又由于fx在[－2，－1]上单调递减， 因此f2和f－1分别是fx在区间[－2，2]上的最大值和最小值， 于是有 22＋b＝20，解得 b＝－2． 故fx－x3＋3x2＋9x－2，因此f－1＝1＋3－9－2＝－7， 即函数fx在区间[－2，2]上的最小值为－7．