[方法点拨]1单物体多过程机械能守恒问题划分物体运动阶段，研究每个阶段中的运动性质，判断机械能是否守恒．2多物体的机械能守恒一般选用ΔEp＝－ΔEk形式，不用选择零势能面． 1.多选如图1所示，轻质弹簧的一端与内壁光滑的试管底部连接，另一端连接一质量为m的小球，小球的直径略小于试管的内径，开始时试管水平放置，小球静止，弹簧处于原长．若缓慢增大试管的倾角θ至试管竖直，弹簧始终在弹性限度内，在整个过程中，下列说法正确的是 图1 A．弹簧的弹性势能一定逐渐增大 B．弹簧的弹性势能可能先增大后减小 C．小球重力势能一定逐渐增大 D．小球重力势能可能先增大后减小 2．多选如图2所示，固定在水平面上的光滑斜面倾角为30，质量分别为M、m的两个物体A、B通过细绳及轻弹簧连接于光滑定滑轮两侧，斜面底端有一与斜面垂直的挡板．开始时用手按住物体A，此时A与挡板的距离为s，B静止于地面上，滑轮两侧的细绳恰好伸直，且弹簧处于原长状态．已知M＝2m，空气阻力不计．松开手后，关于二者的运动，整个过程弹簧形变不超过其弹性限度，下列说法中正确的是 图2 A．A和B组成的系统机械能守恒 B．当A的速度最大时，B与地面间的作用力为零 C．若A恰好能到达挡板处，则此时B的速度为零 D．若A恰好能到达挡板处，则此过程中重力对A做的功等于弹簧弹性势能的增加量与物体B的机械能增加量之和 3.如图3所示，在倾角θ＝30的光滑固定斜面上，放有两个质量分别为1kg和2kg的可视为质点的小球A和B，两球之间用一根长L＝0.2m的轻杆相连，小球B距水平面的高度h＝0.1m．两球由静止开始下滑到光滑地面上，不计球与地面碰撞时的机械能损失，g取10m/s2.则下列说法中正确的是 图3 A．整个下滑过程中A球机械能守恒 B．整个下滑过程中B球机械能守恒 C．整个下滑过程中A球机械能的增加量为J D．整个下滑过程中B球机械能的增加量为J 4.多选内壁光滑的环形凹槽半径为R，固定在竖直平面内，一根长度为R的轻杆，一端固定有质量为m的小球甲，另一端固定有质量为2m的小球乙．现将两小球放入凹槽内，小球乙位于凹槽的最低点，如图4所示，由静止释放后 图4 A．下滑过程中甲球减少的机械能总是等于乙球增加的机械能 B．下滑过程中甲球减少的重力势能总是等于乙球增加的重力势能 C．甲球可沿凹槽下滑到槽的最低点 D．杆从右向左滑回时，乙球一定能回到凹槽的最低点 5.多选如图5所示，一光滑、绝缘的半球壳固定在绝缘水平面上，球壳半径为R，在球心O处固定一个带正电的点电荷，一个带负电荷的小物块可视为质点静止在球壳的顶端A.现小物块受到轻微扰动从右侧下滑，已知物块静止在A点时对球壳的压力大小是物块重力大小的2倍，P点在球面上，则 图5 A．物块沿球面运动的过程中机械能增大 B．物块沿球面运动的过程中机械能不变 C．若物块恰好在P点离开球面，则物块的速度大小为 D．若物块恰好在P点离开球面，则物块的速度大小为 6．多选蹦床运动是广大青少年儿童喜欢的活动．在处理实际问题中，可以将青少年儿童从最高点下落的过程简化如图6甲所示，劲度系数为k的轻弹簧竖直放置，下端固定在水平地面上，一质量为m的小球，从离弹簧上端高h处自由下落，接触弹簧后继续向下运动．若以小球开始下落的位置O点为坐标原点，设竖直向下为正方向，小球的速度v随时间t变化的图象如图乙所示．其中OA段为直线，AB段是与OA相切于A点的平滑曲线，BC是平滑的曲线，不考虑空气阻力，重力加速度为g.则关于小球的运动过程，下列说法正确的是 图6 A．小球最大速度出现的位置坐标为x＝h＋ B．小球在C时刻所受弹簧弹力大小等于重力大小的两倍 C．小球从A时刻到B时刻的过程中重力势能减少的数值大于弹簧弹性势能增加的数值 D．小球可以从C时刻所在的位置回到出发点 7.多选如图7所示，左侧为一个固定在水平桌面上的半径为R的半球形碗，碗口直径AB水平，O点为球心，碗的内表面及碗口光滑．右侧是一个足够长的固定光滑斜面．一根不可伸长的轻质细绳跨过碗口及竖直固定的轻质光滑定滑轮，细绳两端分别系有可视为质点的小球m1和物块m2，且m1＞m2.开始时m1恰在A点，m2在斜面上且距离斜面顶端足够远，此时连接m1、m2的细绳与斜面平行且恰好伸直，C点是圆心O的正下方．将m1由静止释放开始运动，则下列说法正确的是 图7 A．在m1从A点运动到C点的过程中，m1与m2组成的系统机械能守恒 B．当m1运动到C点时，m1的速率是m2速率的 C．m1不可能沿碗面上升到B点 D．m2沿斜面上滑过程中，地面对斜面的支持力始终保持恒定 8.多选如图8所示，在竖直平面内半径为R的四分之一圆弧轨道AB、水平轨道BC与斜面CD平滑连接在一起，斜面足够长．在圆弧轨道上静止着N个半径为rr≪R的光滑刚性小球，小球恰好将圆弧轨道铺满，从最高点A到最低点B依次标记为1,2,3，，N.现将圆弧轨道末端B处的阻挡物拿走，N个小球由静止开始沿轨道运动，不计摩擦与空气阻力，下列说法正确的是 图8 A．N个小球在运动过程中始终不会散开 B．第N个小球在斜面上能达到的最大高度为R C．第1个小球到达最低点的速度＞v＞ D．第1个小球到达最低点的速度v′＜ 9.如图9所示，一光滑水平桌面与一半径为R的光滑半圆形竖直轨道相切于C点，且两者固定不动．一长L＝0.8m的细绳，一端固定于O点，另一端系一个质量m1＝0.2kg的小球A，当细绳在竖直方向静止时，小球A对水平桌面的作用力刚好为零，现将A提起使细绳处于水平位置时无初速度释放，当球A摆至最低点时，恰与放在桌面上的质量m2＝0.8kg的小球B正碰，碰后球A以2m/s的速率弹回，球B将沿半圆形轨道运动，恰好能通过最高点D，g取10 m/s2，求 图9 1B球在半圆形轨道最低点C的速度为多大 2半圆形轨道半径R应为多大 10.如图10所示，半径为R的光滑半圆形轨道ABC与倾角为θ＝37的粗糙斜面轨道DC相切于C点，半圆形轨道的直径AC与斜面垂直．质量为m的小球从A点左上方距A点高为h的P点以某一速度水平抛出，刚好与半圆形轨道的A点相切进入半圆形轨道内侧，之后经半圆形轨道沿斜面刚好运动到与抛出点等高的D处．已知当地的重力加速度为g，取R＝h，sin37＝0.6，cos37＝0.8，不计空气阻力，求 图10 1小球被抛出时的速度v0；
2小球到达半圆轨道最低点B时，对轨道的压力；
3小球从C到D过程中摩擦力做的功W. 答案精析 1．AD[缓慢增大试管的倾角θ至试管竖直，弹簧所受压力逐渐增大，弹簧的压缩量逐渐增大，弹性势能一定逐渐增大，选项A正确，B错误；
设弹簧原长为l0，地面为重力势能零势能面，倾角为θ时小球重力势能Ep＝mgl0－sinθ，当sinθ＝时，该重力势能函数表达式有最大值，若＜1，则在达到竖直位置之前，重力势能有最大值，所以选项C错误，D正确．] 2．BD[对于A、B及弹簧组成的系统，只有重力和弹力做功，系统的机械能守恒，但对于A和B组成的系统机械能不守恒，故A错误；
A的重力沿斜面向下的分力为Mgsin θ＝mg，物体A先做加速运动，当受力平恒时A的速度最大，此时B所受的拉力为FT＝mg，B恰好与地面间的作用力为零，故B正确；
从B开始运动直到A到达挡板的过程中，细绳弹力的大小一直大于B的重力，故B一直做加速运动，故C错误；
A恰好能到达挡板处，由机械能守恒定律可知此过程中重力对A做的功等于弹簧弹性势能的增加量与物体B的机械能增加量之和，故D正确．] 3．D[在下滑的整个过程中，只有重力对系统做功，系统的机械能守恒，但在B球沿水平面滑行，而A沿斜面滑行时，杆的弹力对A、B球做功，所以A、B球各自机械能不守恒，故A、B错误；
根据系统机械能守恒得mAgh＋Lsin θ＋mBgh＝mA＋mBv2，解得v＝ m/s，系统下滑的整个过程中B球机械能的增加量为mBv2－mBgh＝J，故D正确；
A球的机械能减少量为J，C错误．] 4．AD[由题意知，甲、乙两球组成的系统机械能守恒，故甲球减少的机械能总等于乙球增加的机械能，所以A正确；
在甲下滑的过程中，甲、乙两球的动能在增加，故甲球减少的重力势能大于乙球增加的重力势能，所以B错误；
由于甲的质量小于乙的质量，根据滑动过程机械能守恒，甲不能滑到槽的最低点，所以C错误；
根据滑动过程机械能守恒，杆从右向左滑回时，乙一定会回到凹槽的最低点，故D正确．] 5．BC[物块沿球面运动的过程中，库仑力和支持力沿球半径方向不做功，只有重力做功，则物块的机械能不变，选项A错误，B正确；
设OP与竖直方向夹角为θ，则当物块将要离开球面时所受球面的支持力为零，则由牛顿第二定律有F库＋mgcosθ＝m，因物块在最高点时对球壳的压力大小是物块重力大小的2倍，可知F库＝mg，由机械能守恒定律得mgR1－cosθ＝mv2，联立解得v＝，选项C正确，D错误．] 6．ACD[当弹簧的弹力与小球的重力相等时，小球的速度最大，根据胡克定律得F＝kx－h，求得速度最大时x＝h＋，A项正确；
根据功能关系列出kx－h2＝mgx，可求出弹力为，即小球在C时刻弹力不等于重力大小的两倍，B项错误；
根据功能关系，小球的重力势能转化为小球的动能和弹簧的弹性势能，A时刻到B时刻过程中，小球的动能增大，即小球的重力势能减少的数值大于弹簧弹性势能增加的数值，C项正确；
根据机械能守恒定律，可知小球可以从C时刻的位置回到出发点，D项正确．] 7．ACD[在m1从A点运动到C点的过程中，m1与m2组成的系统只有重力做功，系统的机械能守恒，故A正确；
设小球m1运动到最低点C时m1、m2的速度大小分别为v1、v2，则有v1cos45＝v2，则＝，故B错误；
由于m1上升的过程中绳子对它做负功，所以m1不可能沿碗面上升到B点，故C正确；
m2沿斜面上滑过程中，m2对斜面的压力是一定的，大小和方向都不变，斜面的受力情况不变，由平衡条件可知地面对斜面的支持力始终保持恒定，故D正确．] 8．AD[在下滑的过程中，水平面上的小球要做匀速运动，而曲面上的小球要做加速运动，则后面的小球对前面的小球有向前的压力，冲上斜面后后面的小球把前面的小球往上压，所以小球之间始终相互挤压，故N个小球在运动过程中始终不会散开，故A正确；
把N个小球看成整体，则小球运动过程中只有重力做功，机械能守恒，弧AB的长度等于小球全部到斜面上的长度，而在圆弧上的重心位置与在斜面上的重心位置相比可能高，可能低，也可能一样高，所以第N个小球在斜面上能达到的最大高度可能比R小，可能比R大，也可能与R相等，故B错误；
N个小球整体在AB段时，重心低于，小球整体的重心运动到最低点的过程中，根据机械能守恒定律得mv2＜mg，解得v＜，而第1个小球在下滑过程中，始终受到第2个小球对它的压力，所以第1个小球到达最低点的速度v′＜，故C错误，D正确．] 9．11.5m/s20.045m 解析1设小球A摆至最低点时速度为v0，由机械能守恒定律得m1gL＝m1v，解得v0＝＝4m/s，A与B碰撞，水平方向动量守恒，设A、B碰后的速度分别为v1、v2，选水平向右方向为正方向，则m1v0＝m1v1＋m2v2，解得v2＝1.5 m/s；
2小球B恰好通过最高点D，由牛顿第二定律得m2g＝m2，B在CD上运动时，由机械能守恒定律得m2v＝m2g2R＋m2v，解得R＝0.045m. 10．125.6mg，方向竖直向下 3－mgh 解析1小球运动到A点时，速度与水平方向的夹角θ，如图所示． 则有v＝2gh① 由几何关系得v0tanθ＝v1② 联立以上各式解得 v0＝.③ 2A、B间竖直高度H＝R1＋cosθ④