晶体的投影和倒易点阵

参考教材 The Science and Engineering of Materials 第2章 晶体学基础 目录 2 晶体及其基本性质 晶向 晶面及晶带 晶体的间隙 晶体的缺陷 晶体的投影 倒易点阵 1 3 晶体投影 1 球面投影和极射赤面投影 2 极式网与乌式网 3 晶带的极射赤面投影 4 标准极射赤面投影图 2016年4月3日8时39分3 4 l概念 晶体的投影是指将构成晶体的晶向和晶面等几何元素以一 定的规则投影到投影面上 使晶向 晶面等几何元素的空间关系 转换成其在投影面上的关系 l分类 球面和赤平面 对应的投影为球面投影和极射赤面投影 l关系的确定 通过晶体的投影可获得晶体的晶向 晶面等元素之 间的关系 此关系通常由极式网和乌式网确定 一 晶体的球面投影和极射赤面投影 5 1 晶体的球面投影 各晶面法线之投影 设想以晶体的中心为球心 任意长为半径 作一球面 然后从球心出发 注意 不是从每个 晶面本身的中心出发 引每一晶面的法线 延长后各自交球面于 一点 这些点便是相应晶面的球面投影点 晶面极点 大园 过球心的平面 小园 平面半径小于球的半径 晶体的球面投影 球面坐标球面坐标 l如果此球面具有像地球仪那样的经纬线 而且以 表示经度 表 示纬度 那么光学测角仪所记录的晶体各晶面的球体坐标 和 在 这里将有一致的表达 l球面上任意两结点之间的弧度严格表示相应的两个晶面法线之间 的夹角 面间夹角就是它的补角 方位角 0 360 极距角 0 180 从北极开始 2016年4月3日8时39分6 2 晶体的极射投影 是一种二次投影 即将晶体的晶面或晶向的球 面投影再以一定的方式投影到赤平面所获得的投影 包括心射极平 投影和极射赤平投影 心射极平投影 定义 将投影平面与上述带有晶面极点的球面相切与球面上的任一点 以球心为视点 将球面上的晶面极点投影于投影平面上 即以球心与球 面上的晶面极点做直线延伸到投影平面 此直线与投影平面相交点即为 此晶面极点的投影点 缺点 投影直线与投影平面平行的那些晶面极点无法做投影 一个投影平 面只能记录球面上部分晶面极点 应用 诠释劳埃衍射照片十分有用 7 极射赤平投影 以赤道平面为投影平面 以南极 或北极 为视点 将球面上的各个 点 线进行投影 2016年4月3日8时39分8 晶体投影的基本要素 C B D A 极射赤平投影 9 球面投影与极射赤面投影之间的关系 l球面上过南北轴的大圆 其极射赤面投影为过基圆中心的直径 l球面上未过南北轴的倾斜大圆 其投影为大圆弧 大圆弧的弦为基圆直径 l水平大圆即赤道平面与投影球的交线 其极射赤面投影为投影基圆本身 l水平小圆的极射赤面投影为与基圆同心的圆 l倾斜小圆的投影为椭圆 l直立小圆的极射赤面投影为一段圆弧 其大小和位置取决于小圆的大小和位置 倾斜大圆 平行于赤道的小圆 倾斜于赤道的小圆垂直于赤面的小圆 二 极式网与乌式网 10 1 极式网 将经纬线坐标网以其本身的赤道平面为投影面 作极射赤面投影 所得的极射赤面投影网 由一系列直径和一系列同心圆组成 每一直径和同心圆分别表示经 线和纬线的极射赤面投影 经线等分投影基圆圆周 纬线等分投影 基圆直径 基圆直径为20 mm 等分间隔为2 11 极式网的用途 l直接读出极点的球面坐标 获得该晶面或晶向的空间位相 l当晶面或晶向的极点在同一直径上 其间的纬度差即为晶面或晶 向间的夹角 可以从极式网上直接读出 l但是 当两极点不在同一直径上时 无法测量其角度 应用受到 限制 2 乌氏网 Wulff net 以同时过NS和EW的平面为投影面 投影光源为投影面中心法线与投影球的 交点 即前后极点F或L 经纬线坐标网的极射平面投影即为乌式网 南北轴NS和东西轴EW的投影分别过乌式网中心的水平直径和垂直直径 前后轴 FL的投影为乌式网的中心 经线的投影为一簇以N S为端点的大圆弧 纬线的投影是一组圆心位于南北轴上的小圆弧 实际使用的乌式网直径为20 mm 圆弧间隔均为2 l乌式网的应用 1 夹角测量 2 晶体转到 3 投影面转换 12经纬线坐标网乌式网 WE 四 标准极射赤面投影图 标准极图 13 定义 以晶体的某一简单晶面为投影图 将各晶面的球面投影再投影到 此平面上去所形成的投影图 在测定晶体取向 如织构中非常有用 标明了晶体中所有重要晶面的相 对取向和对称关系和对称关系 可方便地定出投影图中所有极点的指 数 1 4 倒易点阵 1 正点阵 2 倒易点阵 3 倒易矢量的基本性质 4 正倒空间的关系 5 广义晶带理论 2016年4月3日8时39分14 一 正点阵 15 概念 晶体的空间点阵 反映了晶体中的质点在三维空间中的周 期性排列 与晶体结构相关 描述的是晶体中原子的分布规律 是实际物质空间 所在空间为正空间 分类 7大晶系 14种晶胞类型 晶面 晶向表征方法 米勒指数 hkl uvw 或 hkil uvtw 点阵参数 a b c 基矢量a b c 任意矢量R可表 示为R ma nb pc 其中m n p为整数 分别为b与c c与a a与b之间的夹角 二 倒易点阵 1 概念 是一个虚拟点阵 是由厄瓦尔德在正空间点阵基础上建立 起来的 该点阵的许多性质与晶体正点阵保持着倒易关系 故称为 所在空间为倒空间 倒易点阵与晶体衍射有关 描述衍射方向问题 正空间中的晶面在倒空间表现为一个倒易阵点 同一晶带的各晶 面在倒空间中为共面的倒易阵点 倒易空间与厄瓦尔德球相结合时 可直观解释晶体中的各种衍射 现象 因为衍射花样的本质是满足衍射条件的倒易阵点的投影 2016年4月3日8时39分16 2 倒易点阵坐标系的建立 从正点阵的原点O出发 作任一晶面 hkl 的法线ON 在该法 线上取一点Phkl 使OPhkl长度正比例与该晶面间距dhkl的倒数 则点阵称为该晶面的倒易点 用hkl表示 所有晶面的倒易点便 构成了倒易点阵 2016年4月3日8时39分17 倒易点阵中的基本参数a b c 其中分别 为 b 与c c 与a a 与b 之间 的夹角 a b c 为倒易点阵 的基矢量 任一倒易矢量R 可表示为 R h a k b l c 2016年4月3日8时39分 18 d 01 d 10 d 02 d 20 三 倒易点阵基矢与正点阵基矢的关系 19 设有一正点阵S 它由三个基矢a b c来描述 即S S a b c 现引入三个新基矢a b c 由它们描述倒易点阵 S S a b c 则新基矢a b c 与正点阵基矢a b c的关系为 a a b b c c 1 a b a c b a b c c a c b 0 倒易点阵的基矢垂直于正点阵异名矢量构成的平面 若正点阵的单位格子体积为V a b c 倒易点阵的单位 格子体积为V a b c 则有 2016年4月3日8时39分 由正点阵单位格子就可以求得相应 的倒易格子的三个基矢长度及交角 反之亦然 正倒点阵一一对应 若已知晶体点阵参数 即由上式可 求得其相应倒易点阵参数 从而建 立其倒易点阵 2016年4月3日8时39分20 分别为a与a b与b c与 c 之间的夹角 立方晶系时 0 则 a 1 a b 1 b c 1 c 四 倒易点阵的基本性质 21 根据定义在倒易点阵中 从倒易原点到任一倒易点的矢 量称倒易矢量 记为g hkl 2016年4月3日8时39分 可以证明 1 g 矢量的方向与晶面相垂直 g N 晶面法线 2 g 矢量长度等于其对应晶面间 距的倒数 g hkl 1 dhkl 证 设ABC平面是正点阵中平行晶面 hkl 组中距原点最近的平面 它在三个晶轴上的截距分别为a h b k c l 由图可知 有矢量关 系式AB OB OA 所以 AB b k a h 则g hkl AB ha kb lc b k a h h k a b a a b b k h b a l k c b l h c a 0 所以g hkl AB 同理g hkl BC 故g hkl ABC平面 即g hkl hkl 晶面 2016年4月3日8时39分22 设n为沿着g hkl方向的单位矢量 则n g hkl g hkl 由图知 dhkl等于 a h在n方向上的投影 即 dhkl a h n a h ha kb lc g hkl 1 g hkl 所以 g hkl 1 dhkl l倒易点阵的几何意义是 正点阵中的每组平行晶面 hkl 相当于倒 易点阵中的一个倒易点 此点必须处在这组晶面的公共法线上 即倒易矢量方向上 倒易点至原点的距离即倒易矢量的长度为相 应晶面间距的倒数 由无数个倒易点组成的点阵即为倒易点阵 若已知某一正点阵 就可得出相应的倒易点阵 2016年4月3日8时39分23 五 倒易点与正点阵中的 hkl 晶面的对应关系 24 g hkl的基本性质表达了与 hkl 的一一对应关系 即一 个g 与一组 hkl 对应 g hkl的方向与大小表达了 hkl 在正点阵中的方位与晶 面间距 反之 hkl 决定了g 的方向和大小 g hkl的基本性质也建立了作为终点的倒易阵点与 hkl 的一一对应关系 p正点阵中每一组 hkl 对应着一个倒易点 该倒易点在倒易点阵中的坐标 可称阵点指数 即为hkl p反之 一个阵点指数为hkl的倒易点对应正点阵中一组 hkl hkl 方位 与晶面间距由该倒易点相应的H hkl 决定 2016年4月3日8时39分 l晶面与倒易结点的关系 2016年4月3日8时39分25 l立方二维点阵与其倒易点阵的关系 2016年4月3日8时39分26 2016年4月3日8时39分27 六 广义晶带理论 28 在倒易点阵中 同一晶带的所有晶面的倒易矢量共面 即倒阵中每 一阵面上的阵点所表示的晶面均属于同一晶带轴 当阵面通过原点 时则 uh vk wl 0 当倒阵面不过原点 而是位于原点的上方或下方 则此时 uh vk wl N 当N 0时 倒易阵面在原点上方 当N 0时 倒易阵面在原点的下方 广义晶带定律示意图 29 广义晶带理论物理意义 倒易矢量的端点表示正空间中的晶面 端点坐标由不带括号的三 位数表示 倒易矢量的长度表示正空间中晶面间距的倒数 倒易矢量的方向表示该晶面的法线方向 倒空间的直线点列表示正空间中一个系列平行晶面 倒空间中的阵面表示正空间中同一晶带的系列晶带面 正空间的晶面 hkl 可用倒空间的一个点hkl表示 正空间 中同一根晶带轴 uvw 的所有晶面可用倒空间的一个倒易 阵面 uvw 来表示 广义晶带中的不同倒易阵面可用 uvw N 表示 本章小结 1 晶体 2 晶面和晶向的表征 3 晶体的间隙 4 晶体的投影 5 倒易点阵 2016年4月3日8时39分30 32 晶带定律 广义晶带定律 uh vk wl N N 为整数 狭义晶带定律 uh vk wl 0 2016年4月3日8时39分35 36 1 按晶面间距大小 将立方晶系的 123 100 200 311 110 及 130 进行排序 2 判断 110 231 200 211 及 212 是否属于 111 晶带 3 画出加fcc bcc晶体的倒易点阵 并标出基本矢量a b 和c 4 写出立方晶系 110 123 晶面族的所有等价面 5 计算面心立方晶系的 110 111 100 等晶面的面间距和面密度 6 用解析法证明立方晶系中 hkl hkl 7 画出Fe2B在平行于晶面 010 上的部分倒易点 Fe2B为正方晶系 点阵参 数a b 0 510 nm c 0 424nm 8 标注图中所示立方和六方晶胞中各晶面和晶向的指数 2016年4月3日8时39分 课后作业 37 TEM样品处理技术 操作事项 TEM分析关键技术 应用举例 要求 2010年后3篇参考文献 包括文献作者 题 目 发表年份 卷码 全文上传 截至日期2016 4 13