重庆市第一中学2020届高三下学期期中考试 数学试题 一、选择题（本大题12个小题，每小题5分，共60分，每小题有且只有一个选项是正确的）. 1．已知集合A＝{0，1，2，3}，B＝{x|x2﹣2x﹣3≥0}，则A∪（∁RB）＝（ ） A．（﹣1，3）B．（﹣1，3]C．（0，3）D．（0，3] 2．已知复数z满足iz＝zai（i为虚数单位），且|z|2，则正数a的值为（ ） A．2B．1C．2D．12 3．已知某超市2019年12个月的收入与支出数据的折线图如图所示，根据该折线图可知，下列说法错误的是（ ） A．该超市2019年的12个月中的7月份的收益最高 B．该超市2019年的12个月中的4月份的收益最低 C．该超市2019年7至12月份的总收益比2019年1至6月份的总收益增长了90万元 D．该超市2019年1至6月份的总收益低于2019年7至12月份的总收益 4．冰雹猜想也称奇偶归一猜想对给定的正整数进行一系列变换，则正整数会被螺旋式吸入黑洞（4，2，1），最终都会归入“4﹣2﹣1”的模式．该结论至今既没被证明，也没被证伪．如图程序框图示意了冰雹猜想的变换规则，则输出的i＝（ ） A．4B．5C．6D．7 5．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是AD，C1D1的中点，O为正方形ABCD的中心，则（ ） A．直线EF，OD1是异面直线，且EF＝OD1 B．直线OD1，B1B是异面直线且OD1≠B1B C．直线EF，OD1是相交直线，且EF＝OD1 D．直线OD1，B1B是相交直线且OD1＝B1B 6．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2a5＝3a3，且a4与9a7的等差中项为2，则S5＝（ ） A．1123B．112C．12127D．121 7．空间直角坐标系中的点P（x，y，z）满足x，y，z∈{2，4，6}，则恰有两个坐标相同的点P有（ ） A．18个B．12个C．9个D．6个 8．“a≥3”是“x＝1为函数f（x）＝﹣x312（a3）x2﹣ax﹣1的极小值点”的（ ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 9．函数fx2x⋅x24x-1的图象大致为（ ） A． B． C． D． 10．函数f（x）＝2sin（ωxφ），（ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，且f（x）的图象过A（π2，1），B（π，﹣1）两点，为了得到g（x）＝2sinωx的图象，只需将f（x）的图象（ ） A．向右平移5π6B．向左平移5π6 C．向左平移5π12D．向右平移5π12 11．已知O，F分别是双曲线Cx2a2-y2b21（a＞0，b＞0）的中心和右焦点，以OF为直径的圆与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点（A，B异于原点O），若|AB|3b，则双曲线C的离心率e为（ ） A．2B．3C．233D．2 12．已知四棱锥P﹣ABCD的棱长都是12，E，F，M为PA，PC，AB的中点，则经过E，F，M的平面截四棱锥P﹣ABCD所得截面的面积为（ ） A．542B．452C．72D．96 二、填空题（本大题4个小题，每小题5分，共20分）. 13．若a→（x，2），b→（x﹣1，1），若（a→b→）⊥（a→-b→），则x＝ ． 14．在第35届全国中学生数学冬令营中，某市甲、乙两所学校数学冬令营成绩的茎叶图（0≤x≤5，8≤y≤9，x，y∈N）如图已知甲校成绩的中位数、平均分都比乙校成绩的中位数、平均分少1分，则xy＝ ． 15．设数列{an}满足an1＝an2（n1），n∈N*，a1＝2，则数列{（﹣1）nan}的前40项和是 ． 16．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F，过其准线与x轴的交点E作直线l， （1）若直线l与抛物线相切于点M，则∠EMF＝ ． （2）设p＝6，若直线l与抛物线交于点A，B，且AB⊥BF，则|AF|﹣|BF|＝ ． 三.解答题（本大题6个小题，共70分.各题解答必须在答题卷上作答，在相应题目指定的方框内必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）. 17．设函数f（x）＝sin（2xπ6）﹣2cos2x． （1）求f（x）的单调增区间；
（2）在△ABC中，若f（A2-π6）-54，且CD→2DA→，BD10，cos∠ABD104，求BC的值． 18．某次数学测验共有12道选择题，每道题共有四个选项，且其中只有一个选项是正确的，评分标准规定每选对1道题得5分，不选或选错得0分．在这次数学测验中，考生甲每道选择题都按照规则作答，并能确定其中有9道题能选对；
其余3道题无法确定正确选项，在这3道题中，恰有2道能排除两个错误选项，另1题只能排除一个错误选项．若考生甲做这3道题时，每道题都从不能排除的选项中随机挑选一个选项作答，且各题作答互不影响．在本次测验中，考生甲选择题所得的分数记为x （1）求x＝55的概率；
（2）求x的分布列和数学期望． 19．如图，在由三棱锥E﹣ADF和四棱锥F﹣ABCD拼接成的多面体ABCDEF中，AE⊥平面ABCD，平面BCF⊥平面ABCD，且ABCD是边长为23的正方形，△BCF是正三角形． （1）求证AE∥平面BCF；
（2）若多面体ABCDEF的体积为16，求BF与平面DEF所成角的正弦值． 20．已知椭圆Cx23y2b21（b＞0）的右焦点为F，过F作两条直线分别与圆Ox2y2＝r2（r＞0）相切于A，B，且△ABF为直角三角形．又知椭圆C上的点与圆O上的点的最大距离为31． （1）求椭圆C及圆O的方程；
（2）若不经过点F的直线ly＝kxm（其中k＜0，m＞0）与圆O相切，且直线l与椭圆C交于P，Q，求△FPQ的周长． 21．已知函数f（x）＝（x﹣a﹣1）ex﹣1-12x2ax，x＞0． （1）若f（x）为单调增函数，求实数a的值；
（2）若函数f（x）无最小值，求整数a的最小值与最大值之和． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分.[选修4-4坐标系与参数方程] 22．在平面直角坐标系h（x）中，直线l1的参数方程为x4-tykt，（t为参数），直线l2的普通方程为y1kx，设l1与l2的交点为P，当k变化时，记点P的轨迹为曲线C1．在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l3的方程为ρsin（θ-π4）2． （1）求曲线C1的普通方程；
（2）设点A在l3上，点B在C1上，若直线AB与l3的夹角为π4，求|AB|的最大值． [选修4-5不等式选讲] 23．已知a＞0，b＞0，a2b＝3．证明 （1）a2b2≥95；
（2）a3b4ab3≤8116． 答案与详解 一、选择题（本大题12个小题，每小题5分，共60分，每小题有且只有一个选项是正确的）. 1．已知集合A＝{0，1，2，3}，B＝{x|x2﹣2x﹣3≥0}，则A∪（∁RB）＝（ ） A．（﹣1，3）B．（﹣1，3]C．（0，3）D．（0，3] 解不等式得集合B，进而可求∁RB＝{x|﹣1＜x＜3}，求并集． ∵B＝{x|x2﹣2x﹣3≥0}＝{x|x≤﹣1或x≥3}， ∴∁RB＝{x|﹣1＜x＜3}， 则A∪∁RB＝{0，1，2，3}∪{x|﹣1＜x＜3}＝（﹣1，3]， 故选B． 本题主要考查集合的基本运算，比较基础． 2．已知复数z满足iz＝zai（i为虚数单位），且|z|2，则正数a的值为（ ） A．2B．1C．2D．12 把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简求得z，结合复数模的计算公式求解a． 由iz＝zai，得（i﹣1）z＝ai，则zai-1iai-1-i-1i-1-ia2-a2i， 由|z|a22-a2222|a|，得22|a|2，即a＝2（a＞0）． 故选A． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础的计算题． 3．已知某超市2019年12个月的收入与支出数据的折线图如图所示，根据该折线图可知，下列说法错误的是（ ） A．该超市2019年的12个月中的7月份的收益最高 B．该超市2019年的12个月中的4月份的收益最低 C．该超市2019年7至12月份的总收益比2019年1至6月份的总收益增长了90万元 D．该超市2019年1至6月份的总收益低于2019年7至12月份的总收益 根据折线图，即可判定选项A，B正确，计算出2019年7至12月份的总收益和2019年1至6月份的总收益，比较，即可得到选项C错误，选项D正确． 由折线图可知，该超市2019年的12个月中的7月份的收入﹣支出的值最大，所以收益最高，故选项A正确；
由折线图可知，该超市2019年的12个月中的4月份的收入﹣支出的值最小，所以收益最低，故选项B正确；
由折线图可知，该超市2019年7至12月份的总收益为604030305030＝240，2019年1至6月份的总收益为203020103030＝140，所以 该超市2019年7至12月份的总收益比2019年1至6月份的总收益增长了100万元，故选项C错误，选项D正确；
故选C． 本题主要考查了简单的合情推理，是基础题． 4．冰雹猜想也称奇偶归一猜想对给定的正整数进行一系列变换，则正整数会被螺旋式吸入黑洞（4，2，1），最终都会归入“4﹣2﹣1”的模式．该结论至今既没被证明，也没被证伪．如图程序框图示意了冰雹猜想的变换规则，则输出的i＝（ ） A．4B．5C．6D．7 根据程序框图进行模拟运算即可． 模拟程序的运行，可得 S＝5，i＝0 不满足条件52∈Z，S＝16，i＝1， 不满足条件S＝1，执行循环体，满足条件8∈Z，S＝8，i＝2， 不满足条件S＝1，执行循环体，满足条件4∈Z，S＝4，i＝3， 不满足条件S＝1，执行循环体，满足条件2∈Z，S＝2，i＝4， 不满足条件S＝1，执行循环体，满足条件1∈Z，S＝1，i＝5， 满足条件S＝1，退出循环，输出i的值为5． 故选B． 本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关键．比较基础． 5．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是AD，C1D1的中点，O为正方形ABCD的中心，则（ ） A．直线EF，OD1是异面直线，且EF＝OD1 B．直线OD1，B1B是异面直线且OD1≠B1B C．直线EF，OD1是相交直线，且EF＝OD1 D．直线OD1，B1B是相交直线且OD1＝B1B 利用已知条件，画出图形，判断直线EF，OD1是异面直线还是相交直线，判断EF＝OD1，OD1＝B1B是否成立． ∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是AB，AD的中点，O为正方形ABCD的中心，如图 四边形D1EOF是矩形，直线EF，OD1是相交直线，排除A， 直线OD1，B1B是相交直线，排除B；
EF＝OD1，OD1≠B1B，排除D， 故选C． 本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 6．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2a5＝3a3，且a4与9a7的等差中项为2，则S5＝（ ） A．1123B．112C．12127D．121 运用等比数列的性质可得a4＝a1q3＝3，再由等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，由等比数列的