2020高考数学人教A版课后作业 1.2020广西南宁二中模考在△ABC中，a、b、c分别是∠A，∠B，∠C所对的边，设向量m＝b－c，c－a，n＝b，c＋a，若m⊥n，则∠A的大小为 A. B. C. D. [答案] B [解析] mn＝bb－c＋c2－a2 ＝c2＋b2－a2－bc＝0， ∴cosA＝＝，∵0Aπ，∴A＝. 2．已知△ABC中，＝a，＝b，ab0，S△ABC＝，|a|＝3，|b|＝5，则∠BAC等于 A．30 B．120 C．150 D．30或150 [答案] C [解析] S△ABC＝|a||b|sin∠BAC＝， ∴sin∠BAC＝.又ab0， ∴∠BAC为钝角，∴∠BAC＝150，选C. 3．文2020郑州一测若向量a、b满足|a|＝|b|＝1，a＋bb＝，则向量a、b的夹角为 A．30 B．45 C．60 D．90 [答案] C [解析] ∵a＋bb＝b2＋ab＝1＋ab＝， ∴ab＝，即|a||b|cos〈a，b〉＝，∴cos〈a，b〉＝， ∴〈a，b〉＝60，故选C. 理2020郑州六校质量检测已知a、b为非零向量，m＝a＋tbt∈R，若|a|＝1，|b|＝2，当且仅当t＝时，|m|取得最小值，则向量a、b的夹角为 A. B. C. D. [答案] C [解析] ∵m＝a＋tb，|a|＝1，|b|＝2，令向量a、b的夹角为θ，∴|m|＝|a＋tb|＝＝＝. 又∵当且仅当t＝时，|m|最小，即＋＝0， ∴cosθ＝－，∴θ＝π.故选C. 4．2020重庆南开中学平面向量a与b的夹角为60，a＝2，0，|b|＝1，则ab＝ A. B．1 C. D. [答案] B [解析] |a|＝2，ab＝|a||b|cos60＝21＝1. 5．文已知向量a＝1,2，向量b＝x，－2，且a⊥a－b，则实数x等于 A．9 B．4 C．0 D．－4 [答案] A [解析] a－b＝1－x,4，∵a⊥a－b，∴aa－b＝1,21－x,4＝1－x＋8＝0，∴x＝9. 理在△ABC中，∠C＝90，＝k,1，＝2,3，则k的值是 A．－3 B．－ C. D．3 [答案] A [解析] 由条件知，存在实数λ0，使a＝λb， ∴k,1＝6λ，k＋1λ，∴，∴k＝－3，故选A. 6．文若向量a与b的夹角为120，且|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，则有 A．c⊥a B．c⊥b C．c∥b D．c∥a [答案] A [解析] ca＝|a|2＋ab＝1＋12cos120＝0. 故c⊥a. 理2020柳州铁一中高考冲刺已知|a|＝2，|b|＝6，ab－a＝2，则|a－λb|的最小值为 A．4 B．2 C．2 D. [答案] D [解析] ∵ab－a＝ab－|a|2＝ab－4＝2， ∴ab＝6，|a－λb|2＝|a|2＋λ2|b|2－2λab＝36λ2－12λ＋4＝36λ－2＋3≥3，∴|a－λb|≥，故选D. 7．2020江西文已知向量a，b满足|b|＝2，a与b的夹角为60，则b在a上的投影是____________． [答案] 1 [解析] 向量b在a上的投影为l＝＝|b|cos60＝1. 8．2020江苏在平面直角坐标系xOy中，已知点A－1，－2，B2,3，C－2，－1 1求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；
2设实数t满足－t＝0，求t的值． [解析] 1由题设知＝3,5，＝－1,1，则＋＝2,6，－＝4,4． 所以|＋|＝2，|－|＝4. 故所求的两条对角线长分别为4，2. 2由题设知＝－2，－1，－t＝3＋2t,5＋t． 由－t＝0，得3＋2t,5＋t－2，－1＝0，所以t＝－. 1.已知直线y＝2x上一点P的横坐标为a，有两个点A－1，1，B3,3，那么使向量与夹角为钝角的一个充分但不必要的条件是 A．－1a2 B．0a1 C．－a D．0a2 [答案] B [解析] 由题意设Pa,2a，由数量积的性质知，两向量的夹角为钝角的充要条件为＝－1－a,1－2a3－a,3－2a＝5a2－10a0，且除去P，A，B三点共线这种特殊情况，解得0a2且a≠1.分析四个选项中a的取值范围使得满足条件a的取值构成的集合只需真包含在集合{a|0a2且a≠1}中即可，只有B选项符合． 2．2020天津宝坻质量调查已知点A，B，C在圆x2＋y2＝1上，满足2＋＋＝0其中O为坐标原点，又||＝||，则向量在向量方向上的投影为 A．1 B．－1 C. D．－ [答案] C [解析] 由2＋＋＝＋＋＋＝＋＝0得，＝－，即O，B，C三点共线． 又||＝||＝1，故向量在向量方向上的投影为||cos＝. 3．已知＝3，－4，＝6，－3，＝5－m，－3－m． 1若点A、B、C能构成三角形，则实数m应满足的条件为________． 2若△ABC为Rt△，且∠A为直角，则m＝______. [答案] m∈R且m≠；
[解析] 1若点A、B、C能构成三角形，则这三点不共线． ∵＝3,1，＝2－m,1－m， ∴31－m≠2－m，∴m≠. 即实数m≠，满足条件． 2若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，则⊥， ∴32－m＋1－m＝0，解得m＝. 4．文平面向量a与b的夹角为60，a＝2,0，|b|＝1，则ab＝________. [答案] 1 [解析] |a|＝2，ab＝|a||b|cos60 ＝21＝1. 理2020东城区示范校练习若等边三角形ABC的边长为2，平面内一点M满足＝＋，则＝________. [答案] －2 [解析] 以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A，B，C三点的坐标分别为－，0，，0，0,3．设M点的坐标为x，y，则＝x，y－3，＝，－3，＝－，－3， 又＝＋，即x，y－3＝－，－，可得M－，，所以＝－2. 5．2020江西理，11已知|a|＝|b|＝2，a＋2ba－b＝－2，则a与b的夹角为________． [答案] [解析] a＋2ba－b＝－2，即|a|2＋ab－2|b|2＝－2，∴22＋ab－222＝－2，ab＝2， 又cos〈a，b〉＝＝＝，〈a，b〉∈[0，π]， 所以a与b的夹角为. 6．设在平面上有两个向量a＝cosα，sinα0≤α360，b＝－，． 1求证向量a＋b与a－b垂直；
2当向量a＋b与a－b的模相等时，求α的大小． [解析] 1证明因为a＋ba－b＝|a|2－|b|2＝cos2α＋sin2α－＋＝0， 故a＋b与a－b垂直． 2由|a＋b|＝|a－b|，两边平方得 3|a|2＋2ab＋|b|2＝|a|2－2ab＋3|b|2， 所以2|a|2－|b|2＋4ab＝0， 而|a|＝|b|，所以ab＝0， 则－cosα＋sinα＝0， 即cosα＋60＝0，∴α＋60＝k180＋90， 即α＝k180＋30，k∈Z， 又0≤α360，则α＝30或α＝210. 7．设向量a＝4cosα，sinα，b＝sinβ，4cosβ，c＝cosβ，－4sinβ 1若a与b－2c垂直，求tanα＋β的值；
2求|b＋c|的最大值；
3若tanαtanβ＝16，求证a∥b. [解析] 1由a与b－2c垂直．ab－2c＝ab－2ac＝0， 即4sinα＋β－8cosα＋β＝0，tanα＋β＝2. 2b＋c＝sinβ＋cosβ，4cosβ－4sinβ， |b＋c|2＝sin2β＋2sinβcosβ＋cos2β＋16cos2β－32cosβsinβ＋16sin2β ＝17－30sinβcosβ＝17－15sin2β最大值为32， ∴|b＋c|的最大值为4. 3由tanαtanβ＝16得sinαsinβ＝16cosαcosβ 即4cosα4cosβ－sinαsinβ＝0，∴a∥b.