第二十九讲 等比数列 班级________ 姓名________ 考号________ 日期________ 得分________ 一、选择题本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内． 1．在等比数列{an}中，a7a11＝6，a4＋a14＝5，则＝ A. B. C.或 D．－或－ 解析在等比数列{an}中，a7a11＝a4a14＝6① 又a4＋a14＝5② 由①、②组成方程组解得或 ∴＝＝或. 答案C 2．在等比数列{an}中a1＝2，前n项和为Sn，若数列{an＋1}也是等比数列，则Sn等于 A．2n＋1－2 B．3n C．2n D．3n－1 解析要{an}是等比数列，{an＋1}也是等比数列，则只有{an}为常数列，故Sn＝na1＝2n. 答案C 评析本题考查了等比数列的性质及对性质的综合应用，抓住只有常数列有此性质是本题的关键，也是技巧；
否则逐一验证，问题运算量就较大． 3．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S6S3＝12，则S9S3等于 A．12 B．23 C．34 D．13 解析解法一∵S6S3＝12， ∴{an}的公比q≠1. 由＝， 得q3＝－， ∴＝＝. 解法二因为{an}是等比数列，所以S3，S6－S3，S9－S6也成等比数列， 即S6－S32＝S3S9－S6，将S6＝S3代入得＝，故选C. 答案C 4．已知等比数列{an}中，an0，a10a11＝e，则lna1＋lna2＋＋lna20的值为 A．12 B．10 C．8 D．e 解析lna1＋lna2＋＋lna20＝ln[a1a20a2a19a10a11]＝lne10＝10，故选B. 答案B 5．若数列{an}满足a1＝5，an＋1＝＋n∈N*，则其前10项和是 A．200 B．150 C．100 D．50 解析由已知得an＋1－an2＝0， ∴an＋1＝an＝5， ∴S10＝50.故选D. 答案D 6.在等比数列{an}中，a1＋a2＋＋an＝2n－1n∈N*，则a＋a＋＋a等于 A．2n－12 B.2n－12 C．4n－1 D.4n－1 解析若a1＋a2＋＋an＝2n－1，则an＝2n－1，a1＝1，q＝2，所以a＋a＋＋a＝4n－1，故选D. 答案D 二、填空题本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上． 7．数列{an}中，设数列{an}的前n项和为Sn，则S9＝________. 解析S9＝1＋22＋24＋26＋28＋3＋7＋11＋15＝377. 答案377 8．数列{an}的前n项之和为Sn，Sn＝1－an，则an＝________. 解析n＝1时，a1＝S1＝1－a1，得a1＝， n≥2时，Sn＝1－an，Sn－1＝1－an－1. 两式相减得an＝an－1－an， 即an＝an－1，＝， 所以{an}是等比数列，首项为a1＝，公比为， 所以an＝n－1. 答案n－1 9．{an}是等比数列，前n项和为Sn，S2＝7，S6＝91，则S4＝________. 解析设数列{an}的公比为q， ∵S2＝7，S6＝91. ∴ ∴ ∴q4＋q2－12＝0，∴q2＝3. ∴S4＝＝a11＋q1＋q2＝a1＋a1q1＋q2＝28. 答案28 10．设数列{an}的前n项和为Snn∈N＋，关于数列{an}有下列四个命题 ①若{an}既是等差数列又是等比数列，则an＝an＋1n∈N＋ ②若Sn＝an2＋bna，b∈R，则{an}是等差数列 ③若Sn＝1－－1n，则{an}是等比数列 ④若{an}是等比数列，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2mm∈N＋也成等比数列． 其中正确的命题是__________．填上正确命题的序号 解析①若{an}既是等差数列又是等比数列，{an}为非零常数列，故an＝an＋1n∈N＋；
②若{an}是等差数列，Sn＝n2＋n为an2＋bna，b∈R的形式；
③若Sn＝1－－1n，则n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝1－－1n－1＋－1n－1＝－1n－1－－1n，而a1＝2，适合上述通项公式，所以an＝－1n－1－－1n是等比数列；
④若{an}是等比数列，当公比q＝－1且m为偶数时，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m不成等比数列． 答案①②③ 三、解答题本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤． 11．已知数列{an}中，a1＝1，前n项和为Sn，对任意的自然数n≥2，an是3Sn－4与2－Sn－1的等差中项． 1求{an}的通项公式；
2求Sn. 解1由已知，当n≥2时， 2an＝3Sn－4＋2－Sn－1，① 又an＝Sn－Sn－1，② 由①②得an＝3Sn－4n≥2③ an＋1＝3Sn＋1－4④ ③④两式相减得an＋1－an＝3an＋1 ∴＝－. ∴a2，a3，，an，成等比数列，其中 a2＝3S2－4＝31＋a2－4， 即a2＝，q＝－， ∴当n≥2时， an＝a2qn－2＝n－2＝－n－1. 即 2解法一当n≥2时 Sn＝a1＋a2＋＋an＝a1＋a2＋＋an ＝1＋ ＝1＋ ＝－n－1， 当n＝1时S1＝1 ＝－0 也符合上述公式． ∴Sn＝－n－1. 解法二由1知n≥2时，an＝3Sn－4， 即Sn＝an＋4， ∴n≥2时，Sn＝an＋4＝－n－1＋. 又n＝1时，S1＝a1＝1亦适合上式． ∴Sn＝－n－1. 12．设数列{an}的前n项和为Sn，且3－mSn＋2man＝m＋3n∈N*，其中m为常数，且m≠－3. 1求证{an}是等比数列；
2若数列{an}的公比q＝fm，数列{bn}满足b1＝a1，bn＝fbn－1n∈N*，n≥2，求证{}为等差数列，并求bn. 解1证明由3－mSn＋2man＝m＋3， 得3－mSn＋1＋2man＋1＝m＋3， 两式相减，得3＋man＋1＝2man， m≠－3， ∴＝n≥1． ∴{an}是等比数列． 2由3－mS1＋2ma1＝m＋3， 解出a1＝1，∴b1＝1. 又∵{an}的公比为， ∴q＝fm＝， n≥2时，bn＝fbn－1＝， ∴bnbn－1＋3bn＝3bn－1，推出－＝. ∴{}是以1为首项，为公差的等差数列， ∴＝1＋＝， 又＝1符合上式， ∴bn＝. 13．已知{an}是首项为a1，公比qq≠1为正数的等比数列，其前n项和为Sn，且有5S2＝4S4，设bn＝q＋Sn. 1求q的值；
2数列{bn}能否是等比数列若是，请求出a1的值；
若不是，请说明理由． 解1由题意知5S2＝4S4， S2＝，S4＝， ∴51－q2＝41－q4，得q2＋1＝. 又q0，∴q＝. 2解法一∵Sn＝＝2a1－a1n－1， 于是bn＝q＋Sn＝＋2a1－a1n－1， 若{bn}是等比数列，则＋2a1＝0，即a1＝－， 此时，bn＝n＋1， ∵＝＝，∴数列{bn}是等比数列， 所以存在实数a1＝－，使数列{bn}为等比数列． 解法二由于bn＝＋2a1－a1n－1， 所以b1＝＋a1，b2＝＋a1，b3＝＋a1， 若数列{bn}为等比数列，则b＝b1b3， 即2＝， 整理得4a＋a1＝0，解得a1＝－或a1＝0舍去， 此时bn＝n＋1. 故存在实数a1＝－，使数列{bn}为等比数列．