2．乘法原理做一件事，完成它需要分n个步骤，第1步有m1种不同的方法，第2步有m2种不同的方法，，第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有Nm1m2mn种不同的方法。
3．排列与排列数从n个不同元素中，任取mm≤n个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，从n个不同元素中取出m个m≤n元素的所有排列个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用表示，nn-1n-m1,其中m,n∈N,m≤n, 注一般地1，01，n。
4．N个不同元素的圆周排列数为n-1。
5．组合与组合数一般地，从n个不同元素中，任取mm≤n个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合，即从n个不同元素中不计顺序地取出m个构成原集合的一个子集。从n个不同元素中取出mm≤n个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用表示 6．组合数的基本性质（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）。
7．定理1不定方程x1x2xnr的正整数解的个数为。
[证明]将r个相同的小球装入n个不同的盒子的装法构成的集合为A，不定方程x1x2xnr的正整数解构成的集合为B，A的每个装法对应B的唯一一个解，因而构成映射，不同的装法对应的解也不同，因此为单射。反之B中每一个解x1,x2,,xn,将xi作为第i个盒子中球的个数，i1,2,,n，便得到A的一个装法，因此为满射，所以是一一映射，将r个小球从左到右排成一列，每种装法相当于从r-1个空格中选n-1个，将球分n份，共有种。故定理得证。
推论1 不定方程x1x2xnr的非负整数解的个数为 推论2 从n个不同元素中任取m个允许元素重复出现的组合叫做n个不同元素的m可重组合，其组合数为 8．二项式定理若n∈N,则abn.其中第r1项Tr1叫二项式系数。
9．随机事件在一定条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机事件。在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率总是接近于某个常数，在它附近摆动，这个常数叫做事件A发生的概率，记作pA,0≤pA≤1. 10.等可能事件的概率，如果一次试验中共有n种等可能出现的结果，其中事件A包含的结果有m种，那么事件A的概率为pA 11.互斥事件不可能同时发生的两个事件，叫做互斥事件，也叫不相容事件。如果事件A1，A2，，An彼此互斥，那么A1，A2，，An中至少有一个发生的概率为 pA1A2An pA1pA2pAn. 12．对立事件事件A，B为互斥事件，且必有一个发生，则A，B叫对立事件，记A的对立事件为。由定义知pAp1. 13．相互独立事件事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。
14．相互独立事件同时发生的概率两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。即pABpApB.若事件A1，A2，，An相互独立,那么这n个事件同时发生的概率为pA1A2 AnpA1pA2 pAn. 15.独立重复试验若n次重复试验中,每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果,则称这n次试验是独立的. 16.独立重复试验的概率如果在一次试验中,某事件发生的概率为p,那么在n次独立重复试验中,这个事件恰好发生k次的概率为pnkpk1-pn-k. 17．离散型随机为量的分布列如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫随机变量，例如一次射击命中的环数ξ就是一个随机变量，ξ可以取的值有0,1,2,,10。如果随机变量的可能取值可以一一列出，这样的随机变量叫离散型随机变量。
一般地，设离散型随机变量ξ可能取的值为x1,x2,,xi,,ξ取每一个值xii1,2,的概率pξxipi，则称表 ξ x1 x2 x3 xi p p1 p2 p3 pi 为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列，称Eξx1p1x2p2xnpn为ξ的数学期望或平均值、均值、简称期望，称Dξx1-Eξ2p1x2-Eξ2p2xn-Eξ2pn为ξ的均方差，简称方差。叫随机变量ξ的标准差。
18．二项分布如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中，这个事件恰好发生k次的概率为pξk, ξ的分布列为 ξ 0 1 xi N p 此时称ξ服从二项分布，记作ξ～Bn,p.若ξ～Bn,p，则Eξnp,Dξnpq,以上q1-p. 19.几何分布在独立重复试验中，某事件第一次发生时所做试验的次数ξ也是一个随机变量，若在一次试验中该事件发生的概率为p，则pξkqk-1pk1,2,，ξ的分布服从几何分布，Eξ，Dξq1-p. 二、方法与例题 1．乘法原理。
例1 有2n个人参加收发电报培训，每两个人结为一对互发互收，有多少种不同的结对方式 [解] 将整个结对过程分n步，第一步，考虑其中任意一个人的配对者，有2n-1种选则；
这一对结好后，再从余下的2n-2人中任意确定一个。第二步考虑他的配对者，有2n-3种选择，这样一直进行下去，经n步恰好结n对，由乘法原理，不同的结对方式有 2n-12n-331 2．加法原理。
例2 图13-1所示中没有电流通过电流表，其原因仅因为电阻断路的可能性共有几种 [解] 断路共分4类1）一个电阻断路，有1种可能，只能是R4；
2）有2个电阻断路，有-15种可能；
3）3个电阻断路，有4种；
4）有4个电阻断路，有1种。从而一共有154111种可能。
3．插空法。
例3 10个节目中有6个演唱4个舞蹈，要求每两个舞蹈之间至少安排一个演唱，有多少种不同的安排节目演出顺序的方式 [解] 先将6个演唱节目任意排成一列有种排法，再从演唱节目之间和前后一共7个位置中选出4个安排舞蹈有种方法，故共有604800种方式。
4．映射法。
例4 如果从1，2，，14中，按从小到大的顺序取出a1,a2,a3使同时满足a2-a1≥3,a3-a2≥3，那么所有符合要求的不同取法有多少种 [解] 设S{1,2,,14}，{1，2，，10}；
T{a1,a2,a3| a1,a2,a3∈S,a2-a1≥3,a3-a2≥3},{∈},若，令，则a1,a2,a3∈T,这样就建立了从到T的映射，它显然是单射，其次若a1,a2,a3∈T,令，则，从而此映射也是满射，因此是一一映射，所以|T|120，所以不同取法有120种。
5．贡献法。
例5 已知集合A{1，2，3，，10}，求A的所有非空子集的元素个数之和。
[解] 设所求的和为x，因为A的每个元素a，含a的A的子集有29个，所以a对x的贡献为29，又|A|10。所以x1029. [另解] A的k元子集共有个，k1,2,,10，因此，A的子集的元素个数之和为1029。
6．容斥原理。
例6 由数字1，2，3组成n位数n≥3，且在n位数中，1，2，3每一个至少出现1次，问这样的n位数有多少个 [解] 用I表示由1，2，3组成的n位数集合，则|I|3n，用A1，A2，A3分别表示不含1，不含2，不含3的由1，2，3组成的n位数的集合，则|A1||A2||A3|2n，|A1A2||A2A3||A1A3|1。|A1A2A3|0。
所以由容斥原理|A1A2A3|32n-3.所以满足条件的n位数有|I|-|A1A2A3|3n-32n3个。
7．递推方法。
例7 用1，2，3三个数字来构造n位数，但不允许有两个紧挨着的1出现在n位数中，问能构造出多少个这样的n位数 [解] 设能构造an个符合要求的n位数，则a13，由乘法原理知a233-18.当n≥3时1）如果n位数的第一个数字是2或3，那么这样的n位数有2an-1；
2）如果n位数的第一个数字是1，那么第二位只能是2或3，这样的n位数有2an-2，所以an2an-1an-2n≥3.这里数列{an}的特征方程为x22x2，它的两根为x11,x21-,故anc11n c21n,由a13,a28得，所以 8．算两次。
例8 m,n,r∈N，证明 ① [证明] 从n位太太与m位先生中选出r位的方法有种；
另一方面，从这nm人中选出k位太太与r-k位先生的方法有种，k0,1,,r。所以从这nm人中选出r位的方法有种。综合两个方面，即得①式。
9．母函数。
例9 一副三色牌共有32张，红、黄、蓝各10张，编号为1，2，，10，另有大、小王各一张，编号均为0。从这副牌中任取若干张牌，按如下规则计算分值每张编号为k的牌计为2k分，若它们的分值之和为2004，则称这些牌为一个“好牌”组，求好牌组的个数。
[解] 对于n∈{1,2,,2004},用an表示分值之和为n的牌组的数目，则an等于函数fx121313的展开式中xn的系数（约定|x|1），由于fx[ 111]33 3。
而0≤2004211，所以an等于的展开式中xn的系数，又由于1x2x3x2k[12x3x22k1x2k],所以x2k在展开式中的系数为a2k1352k1k12,k1,2,,从而，所求的“好牌”组的个数为a2004100321006009. 10．组合数的性质。
例10 证明是奇数k≥1. [证明] 令ipi1≤i≤k，pi为奇数，则，它的分子、分母均为奇数，因是整数，所以它只能是若干奇数的积，即为奇数。
例11 对n≥2,证明 [证明] 1）当n2时，22642；
2）假设nk时，有2k4k,当nk1时，因为 又4，所以2k1. 所以结论对一切n≥2成立。
11．二项式定理的应用。
例12 若n∈N, n≥2，求证 [证明] 首先其次因为，所以 2得证。
例13 证明 [证明] 首先，对于每个确定的k，等式左边的每一项都是两个组合数的乘积，其中是1xn-k的展开式中xm-h的系数。是1yk的展开式中yk的系数。从而就是1xn-k1yk的展开式中xm-hyh的系数。
于是，就是展开式中xm-hyh的系数。
另一方面， xk-1xk-2yyk-1，上式中，xm-hyh项的系数恰为。
所以 12．概率问题的解法。
例14 如果某批产品中有a件次品和b件正品，采用有放回的抽样方式从中抽取n件产品，问恰好有k件是次品的概率是多少 [解] 把k件产品进行编号，有放回抽n次，把可能的重复排列作为基本事件，总数为abn（即所有的可能结果）。设事件A表示取出的n件产品中恰好有k件是次品，则事件A所包含的基本事件总数为akbn-k，故所求的概率为pA 例15 将一枚硬