课时作业40 空间点、直线、平面之间的位置关系 [基础达标] 一、选择题 1．[2019江西七校联考]已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是 A．相交或平行 B．相交或异面 C．平行或异面 D．相交、平行或异面 解析依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面． 答案D 2．若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是 A．b⊂α B．b∥α C．b⊂α或b∥α D．b与α相交或b⊂α或b∥α 解析b与α相交或b⊂α或b∥α都可以． 答案D 3. 如图所示，ABCD－A1B1C1D1是正方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是 A．A，M，O三点共线 B．A，M，O，A1不共面 C．A，M，C，O不共面 D．B，B1，O，M共面 解析连接A1C1，AC图略，则A1C1∥AC， ∴A1，C1，A，C四点共面，∴A1C⊂平面ACC1A1. ∵M∈A1C，∴M∈平面ACC1A1.又M∈平面AB1D1， ∴M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上， 同理A，O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上， ∴A，M，O三点共线． 答案A 4．[2019河北张家口模拟]三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为等边三角形，AA1⊥平面ABC，AA1＝AB，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，则BM与AN所成角的余弦值为 A. B. C. D. 解析 取BC的中点O，连接NO，AO，MN，因为B1C1綊BC，OB＝BC，所以OB∥B1C1，OB＝B1C1，因为M，N分别为A1B1，A1C1的中点，所以MN∥B1C1，MN＝B1C1，所以MN綊OB，所以四边形MNOB是平行四边形，所以NO∥MB，所以∠ANO或其补角即为BM与AN所成角，不妨设AB＝2，则有AO＝，ON＝BM＝，AN＝，在△ANO中，由余弦定理可得cos∠ANO＝＝＝.故选C. 答案C 5．[2019安徽联合检测]若在三棱柱ABC－A1B1C1中，∠A1AC＝∠BAC＝60，平面A1ACC1⊥平面ABC，AA1＝AC＝AB，则异面直线AC1与A1B所成角的余弦值为 A. B. C. D. 解析解法一 如图，在平面ABC，平面A1B1C1中分别取点D，D1，连接BD，CD，B1D1，C1D1，使得四边形ABDC，A1B1D1C1为平行四边形，连接DD1，BD1，则AB＝C1D1且AB∥C1D1，所以AC1∥BD1，故∠A1BD1即异面直线AC1与A1B所成的角． 连接A1D1，过点A1作A1M⊥AC于点M，连接BM，设AA1＝2，由∠A1AM＝∠BAC＝60，得AM＝1，BM＝，A1M＝，因为平面A1ACC1⊥平面ABC，A1M⊂平面A1ACC1，所以A1M⊥平面ABC，所以A1M⊥BM，所以A1B＝，在菱形A1ACC1中，易求得AC1＝2＝BD1，在菱形A1B1D1C1中，易求得A1D1＝2，所以cos∠A1BD1＝＝＝，所以异面直线AC1与A1B所成角的余弦值为. 解法二 令M为AC的中点，连接MB，MA1，易得MA，MB，MA1两两垂直．以M为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．设AA1＝AC＝AB＝2，则A1,0,0，B0，，0，A10,0，，C1－2,0，，所以＝－3,0，，＝0，，－，所以cos〈，〉＝＝－，故异面直线AC1与A1B所成角的余弦值为. 答案B 二、填空题 6．设P表示一个点，a，b表示两条直线，α，β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确命题的序号是________． ①P∈a，P∈α⇒a⊂α；
②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β；
③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α；
④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈b. 解析当a∩α＝P时，P∈a，P∈α， 但a⊄α，∴①错；
a∩β＝P时，②错；
如图∵a∥b，P∈b， ∴P∉a，∴由直线a与点P确定唯一平面α， 又a∥b，由a与b确定唯一平面γ， 但γ经过直线a与点P， ∴γ与α重合，∴b⊂α，故③正确；
两个平面的公共点必在其交线上，故④正确． 答案③④ 7．如图所示，G，H，M，N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________填上所有正确答案的序号． 解析图1中，直线GH∥MN；
图2中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；
图3中，连接MG，HN，GM∥HN，因此GH与MN共面；
图4中，G，M，N共面， 但H∉平面GMN，因此GH与MN异面． 所以图2，4中GH与MN异面． 答案24 8．[2019福建四地六校联考]已知三棱锥A－BCD中，AB＝CD，且直线AB与CD成60角，点M、N分别是BC、AD的中点，则异面直线AB与MN所成角的大小为________． 解析如图，取AC的中点P，连接PM，PN，则PM∥AB，且PM＝AB，PN∥CD，且PN＝CD. ∴∠MPN或其补角为AB与CD所成的角，则∠MPN＝60或∠MPN＝120， ∵PM∥AB， ∴∠PMN或其补角是AB与MN所成的角， ∵AB＝CD，∴PM＝PN， 若∠PMN＝60， 则△PMN是等边三角形，∴∠PMN＝60， ∴AB与MN所成的角为60.若∠MPN＝120， 则∠PMN＝30，∴AB与MN所成的角为30， 综上，异面直线AB与MN所成的角为30或60. 答案30或60 三、解答题 9. 如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F，求证E，F，G，H四点必定共线． 证明因为AB∥CD， 所以AB，CD确定一个平面β. 又因为AB∩α＝E，AB⊂β，所以E∈α，E∈β， 即E为平面α与β的一个公共点． 同理可证F，G，H均为平面α与β的公共点， 因为若两个平面有公共点，那么它们有且只有一条通过公共点的公共直线，所以E，F，G，H四点必定共线． 10．如图，已知不共面的三条直线a，b，c相交于点P，A∈a，B∈a，C∈b，D∈c，求证AD与BC是异面直线． 证明假设AD和BC共面，所确定的平面为α，那么点P，A，B，C，D都在平面α内， ∴直线a，b，c都在平面α内，与已知条件a，b，c不共面矛盾，假设不成立． ∴AD和BC是异面直线． [能力挑战] 11．[2019武汉调研]在棱长为3的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在棱AB，CD上，且AE＝CF＝1. 1求异面直线A1E与C1F所成角的余弦值；
2求四面体EFC1A1的体积． 解析1如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中， 延长DC至M，使CM＝1，则AE綊CM. 连接AC，EM，∴ME綊AC綊A1C1，连接MC1， ∴A1E綊C1M， ∴∠FC1M为异面直线A1E与C1F所成的角． 在△FC1M中，C1F＝C1M＝，FM＝2， ∴cos∠FC1M＝＝. 故异面直线A1E与C1F所成角的余弦值为. 2在D1C1上取一点N，使ND1＝1. 连接EN，FN，A1N， ∴A1E綊FN，∴A1N綊EF， ∵EF⊂平面EFC1，A1N⊄平面EFC1，∴A1N∥平面EFC1， ∴VA1－EFC1＝VN－EFC1＝VE－NFC1＝S△NFC13＝233＝3. 故四面体EFC1A1的体积为3.