共60分） 1. 已知集合 Mx xa，且q是 p 的必要不充分 条件，则实数 a 的取值范围是 A. 0≤a≤1B. 1≤a≤3 C. a≤1D. a≥3 7. 将函数 y2sin2xπ4 的图象向右平移 π12 个单位后，所得图象对应的函数解析式为 A. y2sin2x-5π12B. y2sin2x5π12 C. y2sin2x-π12D. y2sin2xπ12 8. 某几何体的三视图如右图所示，其侧视图为等边三角形，则该 几何体的体积为 A. 3π623B. π34 C. 3π1223D. 2π34 9. 已知实数 a，b 满足不等式 a2b-12≤1，则点 A1,-1 与 点 B-1,-1 在直线 axby10 的两侧的概率为 A. 34B. 23 C. 12D. 13 10. 正项数列 an 的前 n 项和为 Sn，且 2Snan2ann∈N*，设 cn-1n2an12Sn， 则数列 cn 的前 2020项的和为 A. -20192020B. -20202019C. -20202021D. -20212020 11. 设函数 fx 满足 ，f2e24，则 x0 时 fx A. 有极大值，无极小值B. 有极小值，无极大值 C. 既有极大值又有极小值D. 既无极大值也无极小值 12. 已知定义在 R 上的函数 yfx 对任意的 x 都满足 fx2fx，当 -1≤x0，且 a≠1）至少有 6 个零点，则 a 的取值范围是 A. 0,15∪5,∞B. 0,15∪5,∞ C. 17,15∪5,7D. 17,15∪5,7 二、填空题（共4小题；
共20分） 13. 已知 tanπα2，则 sin2α ． 14. 向量 a，b 满足 a2，b1，且 a-2b∈2,23，则 a，b 的夹角 θ 的取值范围是 ． 15. 设实数 x，y 满足 2≤x≤3,1≤y≤2,xy≤4, 则 yx-1 的最大值为 ． 16. 在平面直角坐标系xOy中，过点0,1的直线l与双曲线3x2- y21交于两点A，B. 若△OAB是直角三角形，则直线l的斜率为 ． 三、解答题（共6小题；
共70分） 17. 在 △ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，bcosCacos2BbcosAcosB． （1）求证△ABC 是等腰三角形；
（2）若 cosA78，且 △ABC 的周长为 5，求 △ABC 的面积． 18. 某中学利用周末组织教职员工进行了一次秋季登山健身的活动，有 N 个人参加，现将所有参加者按年龄情况分为 20,25，25,30，30,35，35,40，40,45，45,50，50,55 等七组，其频率分布直方图如图所示，已知 25,30 这组的参加者是 6 人． （1）根据此频率分布直方图求 N；
（2）已知 35,40 和 40,45 这两组各有 2 名数学教师，现从这两个组中各选取 2 人担任接待工作，设两组的选择互不影响，求两组选出的人中恰有 1 名数学老师的概率． 19. 在如图所示的几何体中，△ABC 是边长为 2 的正三角形，AE1，AE⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC，BDCD，且 BD⊥CD． （1）若 AE2，求证AC∥平面BDE；
（2）若B到DE的距离是72，求该几何体的体积． 20. 已知椭圆 Cx2a2y2b2ab0 的左顶点为 A ，上顶点为 B ，右焦点为 F ，离心率为 22 ， △ABF 的面积为 21 ． （1）求椭圆 C 的方程；
（2）若 M ， N 为 y 轴上的两个动点，且 MF⊥NF ，直线 AM 和 AN 分别与椭圆 C 交于 E ， D两点．若O是坐标原点，求证E、O、D三点共线。
21. 已知称函数是“有趣的”，如果其满足且x1是它的零点。例如就是“有趣的”。已知是“有趣的”。
（1）求出b、c并判断函数的单调性；
（2）若对于任意正数x，都有恒成立，求参数k的取值范围。
请考生在22,23题中任选择一题作答，并在答题卡上把所选题目后的方框涂黑。
22. 在平面直角坐标系下，直线 lx122t,y22t（t 为参数），以原点 O 为极点，以 x 轴的非负半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 ρ-4cosθ0． （1）写出直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；
（2）若直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，求 ∣AB∣ 的值． 23. 已知函数 fxx（x∈R）． （1）求不等式 fx-1fx1≤4 的解集 M；
（2）若 a,b∈M，证明 2fab≤fab4． 答案 选择题 1. B 2. C【解析】z34i，所以 z32425， 所以 zz534i53-4i34i3-4i35-45i． 3. C 4. B 5. D【解析】模拟程序的运行，可得 x2，n2， k0，S0，a2， S2，k1，不满足条件 k2，执行循环体，a4，S8，k2， 不满足条件 k2，执行循环体，a6，S22，k3， 此时，满足条件 k2，退出循环，输出 S 的值为 22． 6. C【解析】p∣x1∣2⇒x1 或 xa⇒xa 或 x0，所以当 n1 时，2a1a12a1，解得 a11， 当 n≥2 时，2an2Sn-Sn-1an2an-an-12an-1，化为anan-1an-an-1-10， 所以 an-an-11，所以数列 an 是等差数列，公差为 1，首项为 1， 所以 an1n-1n，Snnn12，所以 cn-1n2an12Sn-1n⋅2n1nn1-1n1n1n1， 则数列 cn 的前 2020 项的和-1121213-1314⋯1202012021-112021-20202021 11. B【解析】由 x2fʹx2xfxex，即x2fxʹexʹ，结合f2e24，可知 fxexx2， fʹxexx-2x3，可知此函数仅有一个极值点，是极小值点。没有极大值。
12. A【解析】由题意得，函数 gxfx-logax 的零点个数即为 yfx 与 ylogax 的图象的交点个数．因为 fx2fx，所以函数 fx 是周期为 2 的周期函数， 又因为 fxx3-1≤x0loga-x,x1 时，如图（1）；
0a1 时 loga51；
当 0a5 或 0a≤15． 填空 13. 45【解析】因为 tanπαtanα2，所以 sin2α2sinαcosαsin2αcos2α2tanαtan2α12222145. 14. π3,2π3【解析】因为 a-2b∈2,23，所以 a-2b2∈4,12， 即 a24b2-4a⋅b44-8cosθ∈4,12，所以 cosθ∈-12,12，故 θ∈π3,2π3． 15. 2 【解析】由实数 x，y 满足 2≤x≤3,1≤y≤2,xy≤4, 作出可行域如图， 联立 x2,xy4 得 A2,2，由 zyx-1，而 kDA22-12， 所以目标函数 yx-1 的最大值为 2． 16. 【解析】 （1）∠AOB90直线l的斜率显然存在，设直线为ykx1。联立双曲线3x2- y21，消去y得 3-k2x2-2kx-20. 注意到∠AOB90，带入解出. （2）∠OAB90（A在左支）设A点坐标m,n m0,则∠OAB90,联立双曲线无解，故不可能出现∠OAB90。
（2）∠OBA90（B在右支），同理不可能。
解答题 17. （1） 根据正弦定理，由 bcosCacos