专题升级训练18 随机变量及其分布列 时间60分钟 满分100分 一、选择题本大题共6小题，每小题6分，共36分 1．已知Pξ＝1＝，Pξ＝－1＝，则Dξ等于 ． A．2 B．4 C．1 D．6 2．同时掷3枚均匀硬币，恰好有2枚正面向上的概率为 ． A．0.5 B．0.25 C．0.125 D．0.375 3．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是 ． A． B． C． D． 4．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为 ． A． B． C． D． 5．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则PB|A＝ ． A． B． C． D． 6．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为 ． A． B． C． D． 二、填空题本大题共3小题，每小题6分，共18分 7．随机变量ξ的分布列如下 ξ －1 0 1 P a b c 其中a，b，c成等差数列，若Eξ＝，则Dξ的值为__________． 8．连续掷一枚均匀的正方体骰子6个面分别标有1,2,3,4,5,6，现定义数列an＝Sn是其前n项和，则S5＝3的概率是__________． 9．毕业生小王参加人才招聘会，分别向A，B两个公司投递个人简历．假定小王得到A公司面试的概率为，得到B公司面试的概率为p，且两个公司是否让其面试是独立的．记ξ为小王得到面试的公司个数．若ξ＝0时的概率Pξ＝0＝，则随机变量ξ的数学期望Eξ＝__________. 三、解答题本大题共3小题，共46分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 10．本小题满分15分已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取无放回，且每球取到的机会均等3个球，记随机变量X为取出此3球所得分数之和． 1求X的分布列；
2求X的数学期望EX． 11．本小题满分15分某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示． 一次购物量 1至 4件 5至 8件 9至 12件 13至 16件 17件及 以上 顾客数人 x 30 25 y 10 结算时间 分钟/人 1 1.5 2 2.5 3 已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55. 1确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；
2求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．将频率视为概率 12．本小题满分16分“天宫一号”的顺利升空标志着我国火箭运载的技术日趋完善．据悉，担任“天宫一号”发射任务的是长征二号FT1火箭．为了确保发射万无一失，科学家对长征二号FT1运载火箭进行了170余项技术状态更改，增加了某项新技术．该项新技术要进入试用阶段前必须对其中三项不同指标甲、乙、丙进行通过量化检测．假设该项新技术的指标甲、乙、丙独立通过检测合格的概率分别为，，，指标甲、乙、丙检测合格分别记4分、2分、4分，若某项指标不合格，则该项指标记0分，各项指标检测结果互不影响． 1求该项技术量化得分不低于8分的概率；
2记该项技术的三个指标中被检测合格的指标个数为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望． 参考答案 一、选择题 1．C 解析Eξ＝1＋－1＝0， Dξ＝12＋－12＝1. 2．D 解析掷3枚均匀硬币，设正面向上的个数为X，则X服从二项分布，即X～B，∴PX＝2＝＝＝0.375. 3．C 解析事件A，B中至少有一件发生的概率是 1－P＝1－＝. 4．D 解析由甲、乙两队每局获胜的概率相同，知甲每局获胜的概率为，甲要获得冠军有两种情况第一种情况是再打一局甲赢，甲获胜概率为；
第二种情况是再打两局，第一局甲输，第二局甲赢．则其概率为＝.故甲获得冠军的概率为＋＝. 5．B 解析∵PA＝＝，PAB＝＝， ∴PB|A＝＝. 6．B 解析记两个零件中恰有一个一等品的事件为A， 则PA＝＋＝. 二、填空题 7． 解析由题意知解得 ∴Dξ＝＋＋＝. 8． 解析该试验可看作一个独立重复试验，结果为－1发生的概率为，结果为1发生的概率为，S5＝3即5次试验中－1发生一次，1发生四次，故其概率为＝. 9． 解析由题意，得Pξ＝2＝p，Pξ＝1＝1－p＋p＝， ξ的分布列为 ξ 0 1 2 P p 由＋＋p＝1，得p＝. 所以Eξ＝0＋1＋2p＝. 三、解答题 10．解1由题意得X取3,4,5,6，且 PX＝3＝＝， PX＝4＝＝， PX＝5＝＝， PX＝6＝＝. 所以X的分布列为 X 3 4 5 6 P 2由1知EX＝3PX＝3＋4PX＝4＋5PX＝5＋6PX＝6＝. 11．解1由已知得25＋y＋10＝55，x＋y＝35， 所以x＝15，y＝20. 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为＝1.9分钟． 2记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2，A3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”，将频率视为概率，得 PA1＝＝，PA2＝＝，PA3＝＝. 因为A＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3是互斥事件， 所以PA＝PA1∪A2∪A3 ＝PA1＋PA2＋PA3 ＝＋＋＝. 故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为. 12．解1记该项新技术的三个指标甲、乙、丙独立通过检测合格分别为事件A，B，C，则事件“得分不低于8分”表示为ABC＋AC. ∵ABC与AC为互斥事件，且A，B，C彼此独立， ∴PABC＋AC＝PABC＋PAC＝PAPBPC＋PAPPC＝＋＝. 2该项新技术的三个指标中被检测合格的指标个数ξ的取值为0,1,2,3. ∵Pξ＝0＝P＝＝， Pξ＝1＝PA＋B＋C ＝＋＋＝， Pξ＝2＝PAB＋AC＋BC ＝＋＋＝， Pξ＝3＝PABC＝＝， ∴随机变量ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P ∴Eξ＝＋＋＝＝.