专题升级训练15 椭圆、双曲线、抛物线 时间60分钟 满分100分 一、选择题本大题共6小题，每小题6分，共36分 1．2020安徽安庆二模，2在同一坐标系下，下列曲线中，右焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合的是 ． A．＋＝1 B．＋＝1 C．－＝1 D．－＝1 2．已知圆的方程为x2＋y2＝4，若抛物线过定点A0,1，B0，－1，且以该圆的切线为准线，则抛物线焦点的轨迹方程是 ． A．＋＝1y≠0 B．＋＝1y≠0 C．＋＝1x≠0 D．＋＝1x≠0 3．若点P为共焦点的椭圆C1和双曲线C2的一个交点，F1，F2分别是它们的左、右焦点，设椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2.若＝0，则＋＝ ． A．1 B．2 C．3 D．4 4．若直线mx＋ny＝4与圆x2＋y2＝4没有交点，则过点Pm，n的直线与椭圆＋＝1的交点个数为 ． A．至少1个 B．2个 C．1个 D．0个 5．已知点A，B是双曲线x2－＝1上的两点，O为坐标原点，且满足＝0，则点O到直线AB的距离等于 ． A． B． C．2 D．2 6．2020山东潍坊3月模拟，10直线4kx－4y－k＝0与抛物线y2＝x交于A，B两点，若|AB|＝4，则弦AB的中点到直线x＋＝0的距离等于 ． A． B．2 C． D．4 二、填空题本大题共3小题，每小题6分，共18分 7．2020江苏苏、锡、常、镇四市调研，8已知点M与双曲线－＝1的左，右焦点的距离之比为2∶3，则点M的轨迹方程为__________． 8．已知抛物线y2＝2pxp＞0上一点M1，m，到其焦点的距离为5，双曲线x2－＝1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM垂直，则实数a＝__________. 9．连接抛物线x2＝4y的焦点F与点M1,0所得的线段与抛物线交于点A，设点O为坐标原点，则△OAM的面积为__________． 三、解答题本大题共3小题，共46分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 10．本小题满分15分2020河北邯郸一模，20已知椭圆C＋＝1a＞b＞0的短轴长等于焦距，椭圆C上的点到右焦点F的最短距离为－1. 1求椭圆C的方程；
2过点E2,0且斜率为kk＞0的直线l与C交于M，N两点，P是点M关于x轴的对称点，证明N，F，P三点共线． 11．本小题满分15分如图，椭圆C＋＝1的焦点在x轴上，左、右顶点分别为A1，A，上顶点为B.抛物线C1，C2分别以A，B为焦点，其顶点均为坐标原点O，C1与C2相交于直线y＝x上一点P. 1求椭圆C及抛物线C1，C2的方程；
2若动直线l与直线OP垂直，且与椭圆C交于不同两点M，N，已知点Q－，0，求的最小值． 12．本小题满分16分2020安徽安庆二模，20已知直线lx＋y＋8＝0，圆Ox2＋y2＝36O为坐标原点，椭圆C＋＝1a＞b＞0的离心率为e＝，直线l被圆O截得的弦长与椭圆的长轴长相等． 1求椭圆C的方程；
2过点3,0作直线l，与椭圆C交于A，B两点，设O是坐标原点，是否存在这样的直线l，使四边形OASB的对角线长相等若存在，求出直线l的方程；
若不存在，说明理由． 参考答案 一、选择题 1．D 2．C 解析过点A，B，OO为坐标原点分别向抛物线的准线作垂线，垂足为A1，B1，O1，设抛物线的焦点Fx，y，则|FA|＝|AA1|，|FB|＝|BB1|， ∴|FA|＋|FB|＝|AA1|＋|BB1|. ∵O为AB的中点， ∴|AA1|＋|BB1|＝2|OO1|＝4. ∴|FA|＋|FB|＝4，故点F的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，其方程为＋＝1.又F点不能在y轴上，故所求轨迹方程为＋＝1x≠0．故选C. 3．B 解析设椭圆方程为＋＝1a＞b＞0， 双曲线方程为－＝1m＞0，n＞0， 其中两焦点距离为2c. 不妨令P在第一象限，由题意知 ∴|PF1|＝a＋m，|PF2|＝a－m， 又，∴PF1⊥PF2， ∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2， ∴2a2＋m2＝4c2， ∴＝＝2，故选B. 4．B 解析∵直线mx＋ny＝4与圆x2＋y2＝4没有交点， ∴圆心到直线的距离d＝＞2， 解得m2＋n2＜4， 即点Pm，n在以原点为圆心，半径为2的圆的内部，而此圆在椭圆＋＝1的内部，故点P在椭圆内部，经过此点的任意直线与椭圆有两个交点．故选B. 5．A 解析由＝0⇒OA⊥OB，由于双曲线为中心对称图形，因此可考查特殊情况，令点A为直线y＝x与双曲线在第一象限的交点，因此点B为直线y＝－x与双曲线在第四象限的一个交点，因此直线AB与x轴垂直，点O到直线AB的距离就为点A或点B的横坐标的值． 由⇒x＝.故选A. 6．C 解析据抛物线定义知，|AB|＝x1＋＋x2＋＝4， ∴x1＋x2＝. 故弦AB的中点到x＝－的距离为－＝＋＝. 二、填空题 7．x2＋y2＋26x＋25＝0 解析由题意得a2＝16，b2＝9， ∴c2＝16＋9＝25. ∴F1－5,0，F25,0． 设Mx，y，有＝，即＝，整理即可得解． 8． 解析根据抛物线的性质得1＋＝5，∴p＝8. 不妨取M1,4，则AM的斜率为2，由已知得－2＝－1. 故a＝. 9．－ 解析线段FM所在直线方程x＋y＝1与抛物线交于Ax0，y0，则⇒y0＝3－2或y0＝3＋2舍去． ∴S△OAM＝13－2＝－. 三、解答题 10．1解由题可知解得a＝，c＝1，∴b＝1. ∴椭圆C的方程为＋y2＝1. 2证明设直线l为y＝kx－2，Mx1，y1，Nx2，y2，Px1，－y1，F1,0， 由得2k2＋1x2－8k2x＋8k2－2＝0. 所以x1＋x2＝，x1x2＝. 而＝x2－1，y2＝x2－1，kx2－2k， ＝x1－1，－y1＝x1－1，－kx1＋2k． ∵x1－1kx2－2k－x2－1－kx1＋2k＝k[2x1x2－3x1＋x2＋4]＝k＝0， ∴∥.∴N，F，P三点共线． 11．解1由题意得Aa,0，B0，，故抛物线C1的方程可设为y2＝4ax，C2的方程为x2＝4y. 由 所以椭圆C＋＝1，抛物线C1y2＝16x，抛物线C2x2＝4y. 2由1知，直线OP的斜率为，所以直线l的斜率为－，设直线l的方程为y＝－x＋b. 由消去y，整理得5x2－8bx＋8b2－16＝0， 因为动直线l与椭圆C交于不同两点， 所以Δ＝128b2－208b2－16＞0，解得－＜b＜. 设Mx1，y1，Nx2，y2， 则x1＋x2＝，x1x2＝， y1y2＝＝x1x2－x1＋x2＋b2＝. 因为＝x1＋，y1，＝x2＋，y2， 所以＝x1＋，y1x2＋，y2＝x1x2＋x1＋x2＋y1y2＋2＝. 因为－＜b＜， 所以当b＝－时，取得最小值， 其最小值为＋－＝－. 12．解1∵圆心O到直线lx＋y＋8＝0的距离为d＝＝4， 直线l被圆O截得的弦长2a＝2＝4，∴a＝2. 又＝，a2－b2＝c2，解得b＝1，c＝. ∴椭圆C的方程为＋y2＝1. 2∵，∴四边形OASB是平行四边形． 假设存在这样的直线l，使四边形OASB的对角线长相等． 则四边形OASB为矩形，因此有， 设Ax1，y1，Bx2，y2，则x1x2＋y1y2＝0. 直线l的斜率显然存在，设过点3,0的直线l方程为y＝kx－3， 由得1＋4k2x2－24k2x＋36k2－4＝0， 由Δ＝－24k22－41＋4k236k2－4＞0， 可得－5k2＋1＞0，即k2＜. x1x2＋y1y2＝x1x2＋k2x1－3x2－3＝1＋k2x1x2－3k2x1＋x2＋9k2＝1＋k2－3k2＋9k2， 由x1x2＋y1y2＝0得，k2＝，∴k＝，满足Δ＞0. 故存在这样的直线l，其方程为y＝x－3．