数 学 2018．12 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上） 1．命题“，”的否定为 ． 2．函数fx＝x－ln x的单调递减区间为________． 3．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是________. ①若m⊥n，n∥α，则m⊥α；
②若m∥β，β⊥α，则m⊥α；
③若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α；
④若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α. 4．抛物线上横坐标为3的点P到焦点F的距离为_________． 5．有一个球心为，半径的球，球内有半径的截面圆，截面圆心为，连接并延长交球面于点，以截面为底，为顶点，可以做出一个圆锥，则圆锥的体积为 ． 6．函数的图象在处的切线方程为 ． 7．若双曲线的一条渐近线方程为，则 ． 8．“”是“直线和直线平资*源库 行”的 条件．（选填“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分也不必要”中的一个） 9．已知函数，若函数有3个零点，则m的取值范围 是 ． 10．圆心在x轴上且与直线ly 2x1切于点的圆C的标准方程为 ． 11．函数的定义域为R，且，，则不等式的解集 为 ． 12．若直线与圆没有公共点，则此直线倾斜角的取值范围 是 ． 13．已知函数（）. 若存在，使得成立，则a的最小值为 ． 14．如图，椭圆的右焦点为F，过F的直线交椭圆于两点，点是点A关于原点O的对称点，若且，则椭圆的离心率为 ． Z 二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分） 已知命题；
命题方程表示双曲线. 1 若命题为真命题，求实数的取值范围；
2 若命题“”为真命题，“”为假命题，求实数的取值范围． 16．（本小题满分14分） 如图，四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，BC＝PD＝2，E为PC的中点，CB＝3CG. 1求证PC⊥BC；
2AD边上是否存在一点M，使得PA∥平面MEG若存在，求AM的长；
若不存在，请说明理由. 17．（本小题满分14分） 在平面直角坐标系中，椭圆的左焦点为，左顶点为，上、下顶点分别为. 1 若直线经过中点M，求椭圆E的标准方程；
2 若直线的斜率为1，与椭圆的另一交点为D，求点D到椭圆E右准线的距离. 18．（本小题满分16分） 某公园内直线道路旁有一半径为10米的半圆形荒地（圆心O在道路上，AB为直径），现要在荒地的基础上改造出一处景观．在半圆上取一点C，道路上B点的右边取一点D，使OC垂直于CD，且OD的长不超过20米．在扇形区域AOC内种植花卉，三角形区域OCD内铺设草皮．已知种植花卉的费用每平方米为200元，铺设草皮的费用每平方米为100元． 1 设（单位弧度），将总费用y表示为x的函数式，并指出x的取值范围；
2 当x为何值时，总费用最低并求出最低费用． 19．（本小题满分16分） 若圆的半径为r，圆心到直线的距离为， 其中，且． 1 求的取值范围；
2 求的值；
3 是否存在定圆既与直线相切又与圆相离若存在，请写出定圆的方程，并给出证明；
若不存在，请说明理由． 20．（本小题满分16分） 已知函数，，其中e为自然对数的底数． 1 当时，求函数的单调区间；
2 求函数在区间上的值域；
江阴市第一中学20182019学年度第一学期12月阶段测试 高 二 数 学 2018．12 参 考 答 案 一、填空题 1.， 2．0,1z 3. ③ 4. 4 5. 6. 7. 8. 充分不必要 9.-,0 10. 11. 12. 13. 16 14. 二、解答题 15 （本小题满分14分） ⑴对于任意， 若命题为真命题，则，所以；
5分 ⑵若命题为真命题，则，所以，8分 因为命题为真命题，则至少有一个真命题，为假命题， 则至少有一个假命题，所以一个为真命题，一个为假命题. 10分 当命题为真命题，命题为假命题时，，则， 当命题为假命题，命题为真命题时，，则， 综上，. 14分 16. （本小题满分14分） 1证明 因为PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD， 所以PD⊥BC. 因为四边形ABCD是正方形，所以BC⊥CD. 又PD∩CD＝D，所以BC⊥平面PCD. 因为PC⊂平面PDC，所以PC⊥BC. 6分 2解 连结AC，BD交于点O，连结EO，GO， 延长GO交AD于点M，连结EM，则PA∥平面MEG. 证明如下因为E为PC的中点，O是AC的中点， 所以EO∥PA. 因为EO⊂平面MEG，PA⊄平面MEG， 所以PA∥平面MEG. 因为△OCG≌△OAM，所以AM＝CG＝， 所以AM的长为. 14分 17（本小题满分14分） ⑴由题意，， 又，所以，直线.2分 M为的中点，所以， 代入直线，则，.4分 由，所以， 所以椭圆E的标准方程是.6分 ⑵因为直线的斜率为，则，所以椭圆，8分 又直线，则， 解得（舍），或，11分 因为右准线的方程为， 所以点到右准线的距离为. 14分 18（本小题满分16分） ⑴因为扇形AOC的半径为10 m，， 所以扇形AOC的面积，．3分 在Rt△COD中，OC＝10，CD＝10， 所以△COD的面积S△COD＝OCCD＝．5分 从而＝100S△COD＋200S扇形AOC＝，．8分 （注没有x的范围，扣1分） ⑵设，则， ，令，解得，11分 从而当时，；
当，． 因此在区间上单调递减；
在区间上单调递增． 当时，取得最小值，．14分 所以的最小值为元． 15分 答当时，改造景观的费用最低，最低费用为元． 16分 19（本小题满分16分） ⑴因为，又，且， 所以且，解得；
3分 ⑵易得圆的圆心，半径， 圆心到直线的距离， 所以；
8分 ⑶存在定圆满足题意，下证之 10分 1因为M0，0到直线的距离为，所以圆与直线相切；
2因为，且，12分 而， 故，所以圆与圆相离． 由1、2得，存在定圆满足题意． 16分 20（本小题满分16分） ⑴当时，，定义域为，． 令，得增区间为；
令，得减区间为．6分 ⑵． 当时，，在上为增函数，故， 从而的值域为；
当时，，在上为减函数，故， 从而的值域为；
当时，时,递增；
时,递减 故的最大值为；
最小值为与中更小的一个， 当时，最小值为；
当时，，最小值为． 综上所述，当时，值域为；
当时，值域为；
当时，值域为；
当时，值域为． 16分 8