2017年高考数学空间几何高考真题 一．选择题（共9小题） 1．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（ ） A．B．C．D． 2．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ） A．πB．C．D． 3．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则（ ） A．A1E⊥DC1B．A1E⊥BDC．A1E⊥BC1D．A1E⊥AC 4．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ） A．60B．30C．20D．10 5．某几何体的三视图如图所示（单位cm），则该几何体的体积（单位cm2）是（ ） A．1B．3C．1D．3 6．如图，已知正四面体D﹣ABC（所有棱长均相等的三棱锥），P、Q、R分别为AB、BC、CA上的点，APPB，2，分别记二面角D﹣PR﹣Q，D﹣PQ﹣R，D﹣QR﹣P的平面角为α、β、γ，则（ ） A．γ＜α＜βB．α＜γ＜βC．α＜β＜γD．β＜γ＜α 7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（ ） A．90πB．63πC．42πD．36π 1．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ） A．10B．12C．14D．16 2．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC120，AB2，BCCC11，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（ ） A．B．C．D． 二．填空题（共5小题） 8．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SAAC，SBBC，三棱锥S﹣ABC的体积为9，则球O的表面积为 ． 9．长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为 ． 10．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 ． 11．由一个长方体和两个 圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为 ． 12．如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是 ． 三．解答题（共9小题） 13．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP∠CDP90． （1）证明平面PAB⊥平面PAD；
（2）若PAPDABDC，∠APD90，且四棱锥P﹣ABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积． 14．如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，ABBCAD，∠BAD∠ABC90． （1）证明直线BC∥平面PAD；
（2）若△PCD面积为2，求四棱锥P﹣ABCD的体积． 15．如图四面体ABCD中，△ABC是正三角形，ADCD． （1）证明AC⊥BD；
（2）已知△ACD是直角三角形，ABBD，若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比． 16．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5． （1）求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；
（2）设M是BC中点，求直线A1M与平面ABC所成角的大小． 17．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PAABBC2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点． （1）求证PA⊥BD；
（2）求证平面BDE⊥平面PAC；
（3）当PA∥平面BDE时，求三棱锥E﹣BCD的体积． 18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD1，BC3，CD4，PD2． （Ⅰ）求异面直线AP与BC所成角的余弦值；
（Ⅱ）求证PD⊥平面PBC；
（Ⅲ）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值． 19．如图，已知四棱锥P﹣ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PCAD2DC2CB，E为PD的中点． （Ⅰ）证明CE∥平面PAB；
（Ⅱ）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值． 20．由四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1截去三棱锥C1﹣B1CD1后得到的几何体如图所示，四边形ABCD为正方形，O为AC与BD 的交点，E为AD的中点，A1E⊥平面ABCD， （Ⅰ）证明A1O∥平面B1CD1；
（Ⅱ）设M是OD的中点，证明平面A1EM⊥平面B1CD1． 21．如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD． 求证（1）EF∥平面ABC；
（2）AD⊥AC． 3．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP∠CDP90． （1）证明平面PAB⊥平面PAD；
（2）若PAPDABDC，∠APD90，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值． 4．如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，ABBCAD，∠BAD∠ABC90，E是PD的中点． （1）证明直线CE∥平面PAB；
（2）点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成角为45，求二面角M﹣AB﹣D的余弦值． 5．如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD∠CBD，ABBD． （1）证明平面ACD⊥平面ABC；
（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D﹣AE﹣C的余弦值． 6．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PAPD，AB4． （1）求证M为PB的中点；
（2）求二面角B﹣PD﹣A的大小；
（3）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值． 7．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC90．点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PAAC4，AB2． （Ⅰ）求证MN∥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角C﹣EM﹣N的正弦值；
（Ⅲ）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线段AH的长． 8．如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转120得到的，G是的中点． （Ⅰ）设P是上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；
（Ⅱ）当AB3，AD2时，求二面角E﹣AG﹣C的大小． 2017年高考数学空间几何高考真题 参考答案与试题解析 一．选择题（共7小题） 1．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（ ） A．B．C．D． 【解答】解对于选项B，由于AB∥MQ，结合线面平行判定定理可知B不满足题意；
对于选项C，由于AB∥MQ，结合线面平行判定定理可知C不满足题意；
对于选项D，由于AB∥NQ，结合线面平行判定定理可知D不满足题意；
所以选项A满足题意， 故选A． 2．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ） A．πB．C．D． 【解答】解∵圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上， ∴该圆柱底面圆周半径r， ∴该圆柱的体积VSh． 故选B． 3．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则（ ） A．A1E⊥DC1B．A1E⊥BDC．A1E⊥BC1D．A1E⊥AC 【解答】解法一连B1C，由题意得BC1⊥B1C， ∵A1B1⊥平面B1BCC1，且BC1⊂平面B1BCC1， ∴A1B1⊥BC1， ∵A1B1∩B1CB1， ∴BC1⊥平面A1ECB1， ∵A1E⊂平面A1ECB1， ∴A1E⊥BC1． 故选C． 法二以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系， 设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2， 则A1（2，0，2），E（0，1，0），B（2，2，0），D（0，0，0），C1（0，2，2），A（2，0，0），C（0，2，0）， （﹣2，1，﹣2），（0，2，2），（﹣2，﹣2，0）， （﹣2，0，2），（﹣2，2，0）， ∵﹣2，2，0，6， ∴A1E⊥BC1． 故选C． 4．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ） A．60B．30C．20D．10 【解答】解由三视图可知该几何体为三棱锥， 该三棱锥的体积10． 故选D． 5．某几何体的三视图如图所示（单位cm），则该几何体的体积（单位cm2）是（ ） A．1B．3C．1D．3 【解答】解由几何的三视图可知，该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成， 圆锥的底面圆的半径为1，三棱锥的底面是底边长2的等腰直角三角形，圆锥的高和棱锥的高相等均为3， 故该几何体的体积为π12331， 故选A 6．如图，已知正四面体D﹣ABC（所有棱长均相等的三棱锥），P、Q、R分别为AB、BC、CA上的点，APPB，2，分别记二面角D﹣PR﹣Q，D﹣PQ﹣R，D﹣QR﹣P的平面角为α、β、γ，则（ ） A．γ＜α＜βB．α＜γ＜βC．α＜β＜γD．β＜γ＜α 【解答】解法一如图所示，建立空间直角坐标系．设底面△ABC的中心为O． 不妨设OP3．则O（0，0，0），P（0，﹣3，0），C（0，﹣6，0），D（0，0，6）， Q，R， ，（0，3，6），（，5，0），， ． 设平面PDR的法向量为（x，y，z），则，可得， 可得，取平面ABC的法向量（0，0，1）． 则cos，取αarccos． 同理可得βarccos．γarccos． ∵＞＞． ∴α＜γ＜β． 解法二如图所示，连接OP，OQ，OR，过点O分别作垂线OE⊥PR，OF⊥PQ，OG⊥QR，垂足分别为E，F，G，连接DE，DF，DG． 设ODh． 则tanα． 同理可得tanβ，tanγ． 由已知可得OE＞OG＞OF． ∴tanα＜tanγ＜tanβ，α，β，γ为锐角． ∴α＜γ＜β． 故选B． 7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（ ） A．90πB．63πC．42πD．36π 【解答】解由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半， Vπ3210﹣π32663π， 故选B． 1．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是