河北省邯郸市2018届高三数学下学期第一次模拟考试试题 理 第Ⅰ卷 一、选择题本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知复数，则（ ） A．-1 B．1 C． D． 2.设全集，集合，则（ ） A． B． C． D． 3.某电视台夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分别为0.8，0.7，0.6，只有通过前一天才能进入下一关，且通过每关相互独立.一选手参加该节目，则该选手只闯过前两关的概率为（ ） A．0.56 B．0.336 C．0.32 D．0.224 4.的内角，，所对的边分别为，，.已知，，且，则（ ） A．6 B． C． D．7 5.如图，网格纸上小正方形的边长均为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 6.若函数在上是增函数，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 7.记不等式组，表示的平面区域为，点的坐标为.有下面四个命题 ，的最小值为6；
，；
，的最大值为6；
，. 其中的真命题是（ ） A．， B．， C．， D．， 8.若的展开式中的系数为80，其中为正整数，则的展开式中各项系数的绝对值之和为（ ） A．32 B．81 C．243 D．256 9.我国古代数学名著九章算术里有一道关于买田的问题“今有善田一亩，价三百；
恶田七亩，价五百.今并买一顷，价钱一万.问善、恶田各几何”其意思为“今有好田1亩价值300钱；
坏田7亩价值500钱.今合买好、坏田1顷，价值10000钱.问好、坏田各有多少亩”已知1顷为100亩，现有下列四个程序框图，其中的单位为钱，则输出的，分别为此题中好、坏田的亩数的是（ ） A． B． C． D． 10.若仅存在一个实数，使得曲线关于直线对称，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 11.设正三棱锥的高为，且此棱锥的内切球的半径为，若二面角的正切值为，则（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 12.设双曲线的左顶点与右焦点分别为，，以线段为底边作一个等腰，且边上的高.若的垂心恰好在的一条渐近线上，且的离心率为，则下列判断正确的是（ ） A．存在唯一的，且 B．存在两个不同的，且一个在区间内，另一个在区间内 C．存在唯一的，且 D．存在两个不同的，且一个在区间内，另一个在区间内 第Ⅱ卷 二、填空题本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13.在平行四边形中，若，则 ． 14.若圆的圆心为椭圆的一个焦点，且圆经过的另一个焦点，则圆的标准方程为 ． 15.若，，则 ． 16.已知集合，，，若集合的子集的个数为8，则的取值范围为 ． 三、解答题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题共60分. 17.已知数列，的前项和分别为，，，且. （1）求；
（2）求数列的前项和. 18.某大型超市在2018年元旦举办了一次抽奖活动，抽奖箱里放有3个红球，3个黄球和1个蓝球（这些小球除颜色外大小形状完全相同），从中随机一次性取3个小球，每位顾客每次抽完奖后将球放回抽奖箱.活动另附说明如下 ①凡购物满100（含100）元者，凭购物打印凭条可获得一次抽奖机会；
②凡购物满188（含188）元者，凭购物打印凭条可获得两次抽奖机会；
③若取得的3个小球只有1种颜色，则该顾客中得一等奖，奖金是一个10元的红包；
④若取得的3个小球有3种颜色，则该顾客中得二等奖，奖金是一个5元的红包；
⑤若取得的3个小球只有2种颜色，则该顾客中得三等奖，奖金是一个2元的红包. 抽奖活动的组织者记录了该超市前20位顾客的购物消费数据（单位元），绘制得到如图所示的茎叶图. （1）求这20位顾客中奖得抽奖机会的顾客的购物消费数据的中位数与平均数（结果精确到整数部分）；
（2）记一次抽奖获得的红包奖金数（单位元）为，求的分布列及数学期望，并计算这20位顾客（假定每位获得抽奖机会的顾客都会去抽奖）在抽奖中获得红包的总奖金数的平均值. 19.如图，在各棱长均为2的正三棱柱中，，分别为棱与的中点，，为线段上的动点，其中，更靠近，且. （1）证明平面；
（2）若与平面所成角的正弦值为，求异面直线与所成角的余弦值. 20.已知，抛物线与抛物线异于原点的交点为，且抛物线在点处的切线与轴交于点，抛物线在点处的切线与轴交于点，与轴交于点. （1）若直线与抛物线交于点，，且，求；
（2）证明的面积与四边形的面积之比为定值. 21.已知函数，. （1）比较与的大小，并加以证明；
（2）当时，，且，证明. （二）选考题共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B铅笔将所选题目对应的题号右侧方框涂黑，并且在解答过程中写清每问的小题号. 22.[选修4-4坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，且），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为. （1）将曲线的参数方程化为普通方程，并将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）求曲线与曲线交点的极坐标. 23.[选修4-5不等式选讲] 已知函数. （1）求不等式的解集；
（2）若直线与函数的图象有公共点，求的取值范围. 高三数学详细参考答案（理科） 一、选择题 1-5 ABDAC 6-10 ACCBD 11、12CA 二、填空题 13. 2 14. 15. 2 16. 三、解答题 17.解（1）依题意可得，，，， ∴. （2）∵，∴， ∴. 又，∴. ∴， ∴，则， ∴， 故. 18.解（1）获得抽奖机会的数据的中位数为110， 平均数为. （2）的可能取值为2，5，10， ， ， ， 则的分布列为 2 5 10 故. 这20位顾客中，有8位顾客获得一次抽奖的机会，有3位顾客获得两次抽奖的机会， 故共有14次抽奖机会. 所以这20位顾客在抽奖中获得红包的总奖金数的平均值为元. 19.解（1）证明由已知得为正三角形，为棱的中点， ∴， 在正三棱柱中，底面，则. 又，∴平面，∴. 易证，又，∴平面. （2）解取的中点，的中点，则，， 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 设， 则， 易知是平面的一个法向量， ∴，解得. ∴，，，， ∴， ∴异面直线与所成角的余弦值为. 20.（1）解由，消去得. 设，的坐标分别为，， 则，. ∴，∵，∴. ∴. （2）证明由，得或，则. 设直线，与联立得. 由，得，∴. 设直线，与联立得. 由，得，∴. 故直线，直线， 从而不难求得，，， ∴，，∴的面积与四边形的面积之比为（为定值）. 21.（1）解. 证明如下 设，∵为增函数， ∴可设，∵，，∴. 当时，；
当时，. ∴， 又，∴， ∴. ∵，∴， ∴，. （2）证明设， 令，得，， 则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. ，设， ∵， ∴，即. 当时，，则. 当时，，∵，∴，∴. 当或时，不合题意. 从而. 22.解（1）∵，∴，即， 又，∴，∴或， ∴曲线的普通方程为（或）. ∵，∴，∴，即曲线的直角坐标方程为. （2）由得， ∴（舍去），， 则交点的直角坐标为，极坐标为. 23.解（1）由，得或或， 解得，故不等式的解集为. （2）， 作出函数的图象，如图所示， 直线过定点， 当此直线经过点时，；
当此直线与直线平行时，. 故由图可知，. 12