1、B-S模型 现代期权定价理论的革命始于1973年,Fischer Black和Myron Scholes1973发表了期权定价和公司财务一文,在一系列严格的假设条件下,通过严密的数 学推导和论证,提出了后来被称为“Black-Scholes模型“下称BS模型的期权定价模型,成为期权定价理论研究中的开创性成果。其中心思想是在已知股票价格未来 分布的假设下,可以用股票和一个无风险债券组合动态复制期权的收益进行避险,而期权的价格就等于动态复制所需的成本。这一定价模型现已成为交易商们所普 遍使用的一个定价工具,极大地推动了衍生产品市场的深入发展。
由于其严密的逻辑、形式上的优美及计算上的简单,BS 模型在实践应用方面被广泛采用。但理论本身涉及一些与实际环境不相吻合的假设,导致BS 模型价格 与实际期权的市场价格经常有很大的差距,因此该模型价格只能作为参考价格。具体是由以下两个因素所造成的 1、交易成本与交易的不连续性。BS模型中假设不存在交易成本且证券交易是连续的。发行商采用Delta值即期权价格相对于标的股票价格每单位变动的变动 ,可由BS公式得出避险策略,必须连续地微小地调整期权与股票的头寸,以消除市场价格风险。而实务中,由于交易成本的存在,采取这样的动态连续避险操作会导 致过高的累积交易成本,因而只能采取间断性避险。虽然间断性避险降低了交易成本,却增大了避险误差,使得投资组合不能保持无风险状态。
2、股价分布与波动率。BS模型所假设的股票价格的分布和实际分布不同,根据模型得到的避险头寸值也就并不准确,这也造成动态复制的成本偏离期权价格。
针对BS模型的这些与实际不符的假设条件,很多学者进行了修正与推广,主要地可分为两类1不完美市场,包括引入交易成本及非连续避险；
2股价收益率 及波动率分布过程,采用与BS模型不同的假设。另外,也存在其它一些修正,如针对BS模型中利率固定的假设,引入随机利率模型等。
2、不完美市场 Leland1985 开创性地提出对BS模型采用一种修正的波动率,来解决交易成本带来的避险误差问题。其基本思想是在连续时间的BS模型框架下,假设在给定 的时间间隔进行避险调整,通过在波动率中加入包含交易成本的因素,使得期权价格的增加恰好能抵消交易成本,从而对BS公式做出修正,使之仍可应用于避险操作 。
Leland模型虽然比BS模型有所改进,但其策略并不是最优策略。有研究表明,这种避险策略并不能精确地避险。Whalley 和Wilmott1997通过对最优化系统的 渐进分析,提出了一个相对容易实行的避险算法。他们提出一个决策规则,在每个时间瞬间监控股价并决定是否进行避险头寸调整,从而解决巨幅累积交易成本的问 题。其基本思想是,投资者的Delta避险策略由市场的运动决定,如果Delta与实际持有的资产数量的差大于投资者指定的避险带,则资产组合就需要重新调整 到Delta。期权价值还是由期望收益率等于无风险利率决定。
3、股价收益率及波动率分布 虽然BS模型被广泛应用于权证的定价,但对标的股价的实证研究表明,BS模型并不能很好的刻划股价波动率的以下几方面的特征1波动率微笑Volatility Smile。按照BS模型的假设,隐含波动率应该与执行价无关且是常数,而实际上隐含波动率作为执行价格的函数曲线呈现两头上翘的形态。2肥尾Fat Tails分 布,即资产收益率分布在极端情况的概率大于相应的正态分布的概率,呈现肥尾分布。3群聚Clustering Effect现象,即波动率一个时期高而另一个时期低,且 在不同时期间的变换是不可预测的。4均值回复Mean Reversion,即波动率围绕一个常数值震荡,意味着波动率倾向于回到长期均值的水平。5杠杆作 用Leverage Effect,即波动率与股价运动之间存在负相关关系。6其他经验特征,如隐含波动率期限结构、隔夜与周末效应、分红效应、溢出效应、信息到达 效应等。
因此,对于经典的BS模型假定标的资产价格服从几何布朗运动、波动率为常数这些假设,学者们提出了多种修正、推广建模方法。
Merton1976提出股价路径应是一个跳跃扩散过程。如果资产价格变化过程中的跳跃成分与整个市场无关的话,就属于可分散风险,可分散风险不应该获得期 望收益。利用几何布朗运动描述只有系统风险的资产价格运动,用Poisson随机过程描述产生非系统风险的偶然的资产价格的跳跃,并且假设跳跃幅度服从正态分布 ,通过求解随机方程可得出期权定价公式。
对于BS模型中波动率为常数的修正,大致上可根据所指定的波动率函数的特点分为两类1确定性波动率模型这类模型是将波动率作为标的股票价格水平的 函数,主要包括方差弹性为常数的CEV模型The Constant Elasticity of Variance Model及IDV模型Implied Deterministic Volatility Model；
2随机波动 率模型它们假设波动率服从一个随机过程。这两类模型均需要利用期权市场的数据来估计模型的参数。
二、模型描述 由于目前我国内地尚不存在权证市场,各种定价模型的定价效率尚无法进行检验；
一些定价模型,比如确定性/随机波动率模型的参数亦无法估计,所以我们将 重点研究在间断避险及存在交易成本情况下,各种避险策略的避险效果问题。下面对相关模型作出描述。
1、股价过程假设 在BS 模型中,假设股价服从几何布朗运动,也就是说有一个固定的期望报酬率及一个固定的方差,同时还对市场做了如下假设 1 无风险利率已知且在合约期限内为常数,投资者可以无风险利率自由借贷。
2 股票不分发股利也不做任何其它形式的利润分配。
3 期权为欧式的,即只能在到期时履约。
4 买卖股票与期权时无交易成本。
5 对卖空没有任何限制。
6 交易时间及价格变动是连续的。
2、B-S定价公式 根据伊藤定理,期权及股票的报酬都受相同的不确定性的影响,因此,若以股票及期权构造一投资组合,包含Delta单位标的股票的多头及一单位期权的空头,则 报酬的不确定性将被消除。在一个极短的时间内,该组合的价值变化独立于股价的变化。因为当股价变动时,如果避险是连续进行,期权的价值变化恰好将股价的变 动抵消,消除了随机项,使得该投资组合在建立头寸的瞬间是无风险的。
值得注意的是,这样的投资组合并不是永远无风险,它只有在很小的时间间隔内才无风险。当股价随着时间而改变时,需要连续地调整组合中期权及股票的比例 ,也就是要连续避险,才能形成无风险的避险组合。
在无套利的假设下,该投资组合的收益率应该等于无风险利率,再加上欧式看涨期权的边界条件,即可推导出欧式看涨期权的定价公式 由定价公式可知,期权价值是由5个变量所决定,包括标的股价S,履约价K,无风险利率r,剩余期限T-t及标的股报酬率标准差σ。这5个变量的变动会 影响期权价值的变动。模型中的五个变量,除标的股标准差σ即波动率外,均可以从市场上直接获得见表1。
3、避险策略 从BS公式的推导过程中可得出发行商所采用的避险策略。首先,发行商出售认购权证获得资金C元；
然后借入资金 元；
利用这部分资金买入Nd1delta值,即避险比率份标的股票,并随着时间及delta值的变化,连续调整所持有的标的股票份数。这种根据delta值的变化随 时调整避险仓位的策略,是一种动态避险策略,称为delta避险策略或delta中性策略。
4、存在交易成本的间断避险策略 明显地,在实务环境下,无交易成本及连续避险是不可能的,在进行权证避险时,需要对此作出修正。
Leland模型 Leland1985给的存在交易成本条件下的避险策略,是在BS公式的基础上,通过调整波动率进行的。他将波动率加上一个与交易成本及避险间隔相关的调整项, 将调整后的波动率代入BS模型可以得到调整后的避险比率。
Delta区间避险策略 Delta区间避险策略,是指当Delta超出预定范围时才调整标的股票的避险头寸,有两种调整方法一是按照一个理想的Delta值进行避险；
其次是进行一个最小 的避险交易以使Delta值保持在预定的范围之内。定义H为理想Delta值的偏离,D是实际持有的标的股票头寸,即HD-Delta。当H超过预设值时,重新调整避险头寸使 得H＝0。
效用最大化策略 效用最大化策略试图寻求一种全局最优的避险策略。其做法是,首先为避险操作定义一个效用函数,然后最大化该效用函数的期望值。Whalley和Wilmott通过 对最优化系统的渐进分析,给出了一个相对容易实行的避险算法,即给出了避险头寸的的避险带Delta-Bt,DeltaBt并给出了避险带宽度为2Bt的计算公式。相应 的避险策略是当现有避险头寸小于本期BS的Delta值减Bt时,需要将避险头寸调整到Delta-Bt,当现有避险头寸大于本期BS的Delta值加Bt时,需要将避险头寸调整 到DeltaBt,若现有避险头寸在这两个值之间,就保持原有头寸不变。其中,Bt的值与投资者风险厌恶系数有关。
三、模拟分析 在BS 模型中,除了波动率以外的资料均可由市场中取得,因此我们只需要估计波动率。一般使用的波动率为历史波动率及隐含波动率。历史波动率的计算较为 简单,但有两项缺点1没有考虑将投资者对标的股票未来波动率的预期；
2估计期间长短的选取,若期间太短可能会面临估计错误的风险,若太长又可能与未来 波动率的相关性不高。由于我国市场上还不存在认购权证或场外期权,故无法采用隐含波动率。本文采用三个月的历史波动率,作为三个月期限认购权证波动率的 估计,以避免使用历史波动率的缺点。以下说明应如何估计历史波动率。
1、波动率的估计 在实证上要估计股价的波动率,通常是取固定间隔时间的股价资料进行估计如每日、每周、每月等等。
定义n1股票价格样本区间；
Si第i个时间间隔的股票价格；
τ时间间隔的长度以年计算。令uilnSi/Si-1, i0,1,2,...,n 要估计股价的波动率,也就是估计μi的标准差 其中u是ui的算术平均。ui的标准差相当于σ√τ的估计值,因此可以用 作为波动率σ的估计值。
利用上述方法,我们估计上证50ETF的波动率2005年2月23日至2005年5月13日,共计53个交易日数据为0.1853。