2019-2020学年北京市密云区高一上学期期末数学试题 一、单选题 1．已知集合，，则集合中元素的个数是（ ） A．0B．1C．2D．3 【答案】B 【解析】直接根据交集的定义计算即可；
【详解】 解， 故选B 【点睛】 本题考查集合的运算，集合中元素个数的求法，属于基础题. 2．函数的最小正周期为（ ） A．B．C．D． 【答案】B 【解析】根据余弦型函数最小正周期的求法即可求得结果. 【详解】 最小正周期 故选 【点睛】 本题考查余弦型函数最小正周期的求解，属于基础题. 3．下列函数中，既是偶函数又在单调递增的是（ ） A．B．C．D． 【答案】D 【解析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案． 【详解】 解根据题意，依次分析选项 对于，，为指数函数，其定义域为，不是偶函数，不符合题意；
对于，，为幂函数，是奇函数，不符合题意；
对于，，为偶函数，在不是增函数，不符合题意；
对于，，为偶函数，且当时，，为增函数，符合题意；
故选D． 【点睛】 本题考查函数奇偶性与单调性的判定，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题． 4．命题“”的否定为（ ） A．B． C．D． 【答案】C 【解析】根据全称命题的否定为特称命题解答即可；
【详解】 解因为全称命题的否定为特称命题，则命题的否定为， 故选C． 【点睛】 本题主要考查含有量词的命题的否定，属于基础题． 5．已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且有如下对应值表 1 2 3 4 6.1 2.9 3.5 1 那么函数一定存在零点的区间是（ ） A．B．C．D． 【答案】A 【解析】利用函数零点的存在定理进行函数零点所在区间的判断，关键要判断函数在相应区间端点函数值的符号，如果端点函数值异号，则函数在该区间有零点． 【详解】 解因为函数是定义在上的连续函数，且，， 根据函数零点的存在定理可知故函数在区间内存在零点． 故选A． 【点睛】 本题考查函数零点的判断方法，关键要弄准函数零点的存在定理，把握好函数在哪个区间的端点函数值异号，属于基础题． 6．函数的图象如图所示，为了得到函数的图象，可以把函数的图象（ ） A．先向左平移个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变） B．先向左平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变） C．每个点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位 D．每个点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位 【答案】A 【解析】由函数的最值求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得的解析式，再利用的图象变换规律，得出结论． 【详解】 解根据函数的图象，设， 可得，，． 再根据五点法作图可得，，， 故可以把函数的图象先向左平移个单位，得到的图象， 再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），即可得到函数的图象， 故选A． 【点睛】 本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由函数的最值求出，由周期求出，由五点法作图求出的值．的图象变换规律，属于基础题． 7．定义域均为的两个函数，，“为偶函数”是“，均为偶函数”的（ ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由函数，定义在上，令，则的定义域也为，关于原点对称，只要看与的关系即可得出为偶函数，反之，通过举反例可得出非充分条件． 【详解】 解令， 由，均为偶函数，则，，故是偶函数，即必要性成立；
反之，设，，是偶函数，而，均不是偶函数，故充分性不成立；
则“为偶函数”是“，均为偶函数”的必要不充分条件． 故选B． 【点睛】 本题考查的知识点是函数的奇偶性，充要条件的判定，其中根据“谁推出谁”的原则，求解充要条件，是解答本题的关键，属于基础题． 8．已知函数关于x的方程，有四个不同的实数解,则的取值范围为（ ） A．B．C．D． 【答案】B 【解析】由题意作函数与的图象，从而可得，，，从而得解 【详解】 解因为，可作函数图象如下所示 依题意关于x的方程，有四个不同的实数解,即函数与的图象有四个不同的交点，由图可知令， 则，，即，所以，则， 所以， 因为，在上单调递增，所以，即 故选B 【点睛】 本题考查了数形结合的思想应用及分段函数的应用．属于中档题 二、填空题 9．________________． 【答案】 【解析】根据对数的运算及分数指数幂的运算法则计算可得；
【详解】 解 故答案为6 【点睛】 本题考查对数及分数指数幂的运算，属于基础题. 10．函数的最小值为__________． 【答案】 【解析】利用基本不等式即可求解. 【详解】 解， 函数 当且仅当，即时，上式取等号. 故答案为 . 【点睛】 本题主要考查基本不等式，利用基本不等式的条件是“一正、二定、三相等”，属于基础题. 11．函数的定义域是_______________． 【答案】 【解析】由 解不等式可得函数的定义域． 【详解】 解由，，可解得，， 函数的定义域为， 故答案为 【点睛】 本题考查正切函数的定义域，属于基础题． 12．给出下列三个论断①；
②；
③且. 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个真命题__________． 【答案】①③推出②，②③推出① 【解析】利用不等式的基本性质可得． 【详解】 解由①；
②；
③且. 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个真命题 （1）若，且，则；
或（2）若，且，则；
对于（1）若且，则，由不等式的性质可得即；
对于（2）若且，则，由不等式的性质可得即；
故答案为①③推出②，②③推出① 【点睛】 本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 13．若函数为奇函数，则__________． 【答案】 【解析】由函数为在定义域上为奇函数，则必有，然后利用待定系数法求解． 【详解】 解函数为奇函数 当时，，定义域为，且为奇函数，满足条件；
当时，，定义域为，且为奇函数，满足条件；
故答案为． 【点睛】 本题主要考查奇偶性的定义的应用，要注意判断和应用的区别，判断时一定要从两个方面，一是定义域是否关于原点对称，二是模型是否满足．应用时，已经知道奇偶性了，则对于定义域中任一变量都满足模型，做大题时用待定系数法求参数，做客观题时可用特殊值求解，属于基础题． 14．里氏震级M的计算公式为MlgA﹣lgA0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅A0为0.001，则此次地震的震级为 级；
9级地震的最大的振幅是5级地震最大振幅的 倍． 【答案】6，10000 【解析】【详解】试题分析根据题意中的假设，可得MlgA﹣lgA0lg1000﹣lg0.0016；
设9级地震的最大的振幅是x，5级地震最大振幅是y，9lgx3，5lgy3，由此知9级地震的最大的振幅是5级地震最大振幅的10000倍． 解根据题意，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001， 则MlgA﹣lgA0lg1000﹣lg0.0013﹣（﹣3）6． 设9级地震的最大的振幅是x，5级地震最大振幅是y， 9lgx3，5lgy3，解得x106，y102， ∴． 故答案耿6，10000． 点评本题考查对数的运算法则，解题时要注意公式的灵活运用． 三、解答题 15．已知集合，． （1）当时，求，；
（2）当时，求，；
（3）当时，求的范围． 【答案】（1），；
（2），；
（3） 【解析】（1）首先求出集合，再根据交集、并集的定义计算即可；
（2）首先求出集合，再根据交集、并集的定义计算即可；
（3）由，即与无公共部分，从而求出参数的取值范围；
【详解】 解（1）当时，， 所以， . （2）当时，， 所以， . （3）因为， 所以的范围是. 【点睛】 本题考查集合的运算及集合的包含关系求参数的取值范围，属于基础题. 16．已知角的顶点与原点O重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边与单位圆交点为． （1）求 和的值；
（2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】（1）由任意角的三角函数的定义，可得，，，再根据两角和的余弦公式及二倍角正弦公式计算可得；
（2）利用同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算即可；
【详解】 解（1）根据题意，，， 所以， ． （2） 因为， 【点睛】 本题考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系以及两角和的余弦公式，属于基础题. 17．已知函数是定义在上的偶函数，当时，．现已画出函数在轴右侧的图象，如图所示． （1）画出函数在轴左侧的图象，根据图象写出函数在上的单调区间；
（2）求函数在上的解析式；
（3）解不等式. 【答案】（1）图见解析；
函数的单调增区间是，单调减区间是 （2） （3） 【解析】（1）根据偶函数的对称性作出函数图象，由函数图象读出函数的单调区间；
（2）当时，，再根据当时，，可得．再根据函数为偶函数，可得，由此能求出函数的解析式． （3）因为，当时，，当时，；
由函数图象读出解集即可；
【详解】 解（1）如图作函数图象. 函数的单调增区间是，单调减区间是． （2）因为时，， 若，则，， 又因为是定义在上的偶函数， 所以，当时，. 综上． （3）因为 当时，，即；
当时，，即；
所以解集为． 【点睛】 本题考查函数的图象的作法，函数的奇偶性的性质的应用，函数解析式的求法，考查运算求解能力，数形结合思想，属于基础题． 18．已知函数. （1）求函数的最小正周期和单调区间；
（2）求函数的零点． 【答案】（1）；
单调递增区间为，；
单调递减区间为 ，；
（2）或，. 【解析】（1）首先利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简为， 再根据正弦函数的周期公式求出最小正周期，最后根据正弦函数的单调性求出的单调区间；
（2）令，即，即或， ，解得即可；
【详解】 （1） ， 即， 所以的最小正周期. 因为的单调增区间为，， 令， 解得，. 因为的单调减区间为，， 令， 解得，. 所以的单调递增区间为，. 单调递减区间为 ，. （2）函数的零点， 令，即. 或， 解得或， 所以的零点为或， 【点睛】 本题考查的知识要点三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题． 19．已知函数． （1）当时，求的最大值；
（2）若函数为偶函数，求的值；
（3）设函数，若对任意，存在，使得，求的取值范围． 【答案】（1）1 （2） （3） 【解析】（1）代入的值，求出函数的最大值即可；
（2）根据偶函数图象关于轴对称，二次函数的一次项系数为0，可