1． 已知复数．则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A.第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限 2．已知，则（ ） A. B. C. D. 3．已知,,则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4．已知数列为等比数列，首项为，数列满足，且，则为（ ） A．9 B．27 C．81 D．243 5．函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 6．九章算术卷七﹣﹣盈不足中有如下问题“今有共买羊，人出五，不足四十五；
人出七，不足三．问人数、羊价各几何”．翻译为”现有几个人一起买羊，若每人出五钱，还差四十五钱，若每人岀七钱，还差三钱，问人数、羊价分别是多少”．为了研究该问题，设置了如图所示的程序框图，若要输出人数和羊价，则判断框中应该填（ ） A．k＞20B．k＞21C．k＞22D．k＞23 7. 已知平面向量满足，且，则向量与夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 8．已知平面区域D1，D2，在区域D1内随机选取一点M，则点M恰好在区域D2内的概率为（ ） A． B． C． D． 9．已知函数（，），满足，将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，若的图象关于直线对称，则的取值可以为（ ） A．1B．2C．3D．4 10．已知抛物线C的焦点F到其准线的距离为4，圆M，过F的直线l与抛物线C和圆M从上到下依次交于A,P,Q,B四点，则|AP|4|BQ|的最小值为（ ） A．9B．11C．13D．15 11．已知函数，若方程有两个不同实根，则实数的取值范围为（ ） A．（，）B．（，﹣1] C．（，1）∪（1，）D．（，1）∪（1，﹣1] 12．已知四棱锥P-ABCD的底面为矩形，平面PBC⊥平面ABCD, 于E，EC1，，BC3， PE2，则四棱锥P-ABCD外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（共90分） 二．填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．函数在处的切线方程是__________． 14．已知二项式 展开式中各项系数和为243，则 的展开式中含项的系数为 _______． 15. 数列通项公式为，若为数列的前项和，则______． 16．已知双曲线C右焦点为F,直线与双曲线C交于A,B两点，AF、BF的中点依次为M，N,若以线段MN为直径的圆经过原点，则双曲线的离心率为_________． 三.解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（12分） 如图，△ABC是等边三角形，D是BC边上的动点（含端点），记∠BAD＝，∠ADC＝． （1）求的最大值；
（2）若BD＝1，cos＝，求△ABD的面积． 18．（12分）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，，平面⊥平面，点为棱的中点． （1）在棱上是否存在一点，使得平面，并说明理由；
（2）当二面角的余弦值为时，求直线与平面所成的角． 19.（12分）有两种理财产品和，投资这两种理财产品一年后盈亏的情况如下（每种理财产品的不同投资结果之间相互独立） 产品 投资结果 获利 不赔不赚 亏损 概率 产品 投资结果 获利 不赔不赚 亏损 概率 注 （1）若甲、乙两人分别选择了产品投资，一年后他们中至少有一人获利的概率大于，求实数的取值范围；
（2）若丙要将20万元人民币投资其中一种产品，以一年后的投资收益的期望值为决策依据，则丙选择哪种产品投资较为理想. 20. （12分）已知椭圆的左右焦点分别为，点是椭圆的左右顶点，点是椭圆上一动点，的周长为6，且直线的斜率之积为． （1）求椭圆C的方程；
（2）若、为椭圆上位于轴同侧的两点，且，求四边形面积的取值范围． 21.（12分）已知函数（是自然对数的底数），是函数的一个极值点．（1）求函数的单调递增区间；
（2）设，若，不等式恒成立，求的最大值． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.【选修44坐标系与参数方程】（本小题满分10分） 已知在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数）．以原点为极点，轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系． （1）求圆的普通方程及其极坐标方程；
（2）设直线的极坐标方程为，射线与圆的交点为（异于极点），与直线的交点为，求线段的长． 23.【选修45不等式选讲】（本小题满分10分）已知函数 （1）解不等式；
（2）若函数最小值为，且，求的最小值. 湖南省湘东七校2019年下期高三联考 理科数学参考答案及解析 总分150 时量120 考试时间2019年12月8日 一、选择题本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项 B A B C A A C B B C D A 9.解∵f（0）＝，∴sinφ＝，∴φ＝，即f（x）＝2sin（ωx）， ∴g（x）＝2sin[ω（x﹣）]， ∵g（x）的图象关于直线x＝对称，∴ω（﹣）＝kπ，k∈z， 则ω＝kπ，k∈z，令k＝1，得ω＝2．故选B． 11解方程f（x）﹣kx＝1有两个不同实根可化为 函数f（x）与函数y＝kx1有两个不同的交点， 当x＞1时，f（x）＝f（x﹣1），周期性变化；
函数y＝kx1的图象恒过点（0，1）；
作函数f（x）与函数y＝kx1的图象如下， C（0，1），B（2，e），A（1，e）；
故kAC＝e﹣1，kBC＝；
在点C处的切线的斜率k＝e0＝1；
结合图象可得，实数k的取值范围为 （，1）∪（1，e﹣1]；
故选D． 12.以为底面补成直三棱柱，由正弦定理可求得外接圆直径径为，外接球半径 从而可求得外接球表面积为 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13. 14. 30 15. 16.. 15.[解]数列且， 当为奇数时，；
当为偶数时，， 所以， ．故答案为． 16. [解] 因为以线段MN为直径的圆经过原点，所以,∴ 设左焦点为,连接，则，因为,所以，由双曲线定义得 三、解答题 （本大题共6小题，共70分. 17.（1）由△ABC是等边三角形，得β＝α， 0≤α≤，故2cos α﹣cos β＝2cos α﹣cos（α） ， 故当α＝，即D为BC中点时，原式取最大值．（6分） （2）由cos β＝，得sin β＝， 故sin α＝sin（β﹣）＝sin βcos ﹣cos βsin ＝，（8分） 由正弦定理＝， 故AB＝BD＝，（10分） 故S△ABD＝ABBDsin B＝1＝．（12分） 18.解（Ⅰ）在棱AB上存在点E，使得AF∥平面PCE，点E为棱AB的中点． 理由如下取PC的中点Q，连结EQ、FQ， 由题意，FQ∥DC且FQ＝CD， 所以AE∥CD且AE＝CD， 故AE∥FQ且AE＝FQ． 所以，四边形AEQF为平行四边形. （3分） 所以，AF∥EQ，又EQ⊂平面PEC，AF⊄平面PEC， 所以，AF∥平面PEC. （5分） （2）由题意知△ABD为正三角形，所以ED⊥AB，亦即ED⊥CD， 又∠ADP＝90，所以PD⊥AD，且平面ADP⊥平面ABCD， 平面ADP∩平面ABCD＝AD， 所以PD⊥平面ABCD，故以D为坐标原点建立如图空间直角坐标系，（6分） 设FD＝a，则由题意知D（0，0，0），F（0，0，a），C（0，2，0），B（，1，0）， ＝（0，2，﹣a），＝（）， 设平面FBC的法向量为 则由，令， 所以取，平面DFC的法向量＝（1，0，0），（8分） 因为二面角D﹣FC﹣B的余弦值为， 所以由题意，解得. （10分） 由于PD⊥平面ABCD，所以PB在平面ABCD内的射影为BD， 所以∠PBD为直线PB与平面ABCD所成的角， 由题意知在Rt△PBD中，tan∠PBD＝，从而， 所以直线PB与平面ABCD所成的角为. （12分） 19.（1）记事件为“甲选择产品投资且获利”，记事件为“乙选择产品投资且获利”，记事件为“一年后甲、乙两人至少有一人投资获利” 则，，， 又，且， （5分） （2）假设丙选择产品投资，且记为获利金额（单位万元），则的分布列为 投资结果 概率 （7分） 假设丙选择产品投资，且记为获利金额（单位万元），则的分布列为 投资结果 -6 概率 （9分） 当时，，丙可在产品和产品中任选一个投资；
当时，，丙应选产品投资；
当时，，丙应选产品投资. （12分） 20.（1）∵△AF1F2的周长为6，∴2a2c＝6，即ac＝3，① 直线的斜率之积为．可求得② 联立①②及a2＝b2c2，解得a＝2，b＝，c＝1． ∴椭圆C的方程为；
（4分） （2）∵∠AF1F2∠BF2F1＝π，∴AF1∥BF2， 延长AF1 交椭圆C于点A′，设A（x1，y1），A′（x2，y2）， 由（1）知F1（﹣1，0），F2（1，0）， 直线AA′的方程为x＝ty﹣1，联立，得（3t24）y2﹣6ty﹣9＝0． ∴，．6分 由对称性可知，,设AF1 与BF2 的距离为d，， 则四边形AF1F2B的面积 S＝＝． ∴S＝ ＝＝＝．9分 令m＝，m≥1．∴S＝． ∵S（m）在[1，∞）上单调递减，∴S∈（0，3]． 故四边形AF1F2B面积的取值范围为（0，3]．12分 21.（1）f（x）＝（x2）ex﹣x﹣a， ∵是函数的一个极值点，∴，解得a＝2（2分） 则f（x）＝（x2）（ex﹣1）． 令f（x）＞0，解得x＞0或x＜﹣2， 故函数的单调递增区间为（﹣∞，﹣2）和（0，∞）．（4分） （2）不等式f（x）≥g（x），可化为ex≥2mx﹣n， 记h（x）＝ex﹣2mxn，h（x）＝ex﹣2m， 当m≤0时，h（x）＞0恒成立，则h（x）在R上递增，没有最小值，故不成立；
（6分） 当m＞0时，令h（x）＝0，解得x＝ln2m，当x∈（﹣∞，ln2m）时，h（x）＜0；
当x∈（ln2m，∞）时，h（x）＞0， 当x