第九单元 第五节 一、选择题 1．给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l与平面α内两条相交直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【解析】 直线l与平面α内两条相交直线都垂直，是线面垂直判定定理的条件，故为充要条件． 【答案】 C 2．空间四边形ABCD中，若AB＝BC，AD＝CD，E为对角线AC的中点，下列判断正确的是 A．面ABD⊥面BDC B．面ABC⊥面ABD C．面ABC⊥面ADC D．面ABC⊥面BED 【解析】 在等腰三角形ABC、ADC中，E为底边AC的中点，则BE⊥AC，DE⊥AC. 又∵BE∩DE＝E，∴AC⊥面BDE， 故面ABC⊥面BDE，面ADC⊥面BDE. 【答案】 D 3．对两条不相交的空间直线a和b，必定存在平面α，使得 A．a⊂α，b⊂α B．a⊂α，b∥α C．a⊥α，b⊥α D．a⊂α，b⊥α 【解析】 当a，b异面时，A不成立；
当a，b不平行时，C不成立；
当a，b不垂直时，D不成立．故选B. 【答案】 B 4．设直线m与平面α相交但不垂直，则下列说法中正确的是 A．在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直 B．过直线m有且只有一个平面与平面α垂直 C．与直线m垂直的直线不可能与平面α平行 D．与直线m平行的平面不可能与平面α垂直 【解析】 在平面α内有无数条彼此平行的直线与直线m垂直，与直线m垂直的直线可能与平面α平行，与直线m平行的平面可能与平面α垂直．故A，C，D错误． 【答案】 B 5．设a，b，c是空间三条直线，α，β是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是 A．当c⊥α时，若c⊥β，则α∥β B．当b⊂α，且c是a在α内的射影时，若b⊥c，则a⊥b C．当b⊂α时，若b⊥β，则α⊥β D．当b⊂α，且c⊄α时，若c∥α，则b∥c 【解析】 α⊥β，b⊂α，b不一定垂直于β.故C错误． 【答案】 C 6．命题p若平面α⊥β，平面β⊥γ，则必有α∥γ；
命题q若平面α上不共线的三点到平面β的距离相等，则必有α∥β.对以上两个命题，下列结论中正确的是 A．命题“p且q”为真 B．命题“p或綈q”为假 C．命题“p或q”为假 D．命题“綈p且綈q”为假 【解析】 命题p，命题q皆为假，所以命题C正确． 【答案】 C 7．如图，已知△ABC为直角三角形，其中∠ACB＝90，M为AB的中点，PM垂直于△ABC所在的平面，那么 A．PA＝PBPC B．PA＝PBPC C．PA＝PB＝PC D．PA≠PB≠PC 【解析】 ∵M为AB的中点，△ACB为直角三角形， ∴BM＝AM＝CM，又PM⊥平面ABC， ∴Rt△PMB≌Rt△PMA≌Rt△PMC，故PA＝PB＝PC. 【答案】 C 二、填空题 8．m、n是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题 ①若α∥β，α∥γ，则β∥γ；
②若α⊥β，m∥α，则m⊥β；
③若m⊥α，m∥β，则α⊥β；
④若m∥n，n⊂α，则m∥α. 其中真命题的序号是________． 【解析】 由平面平行的传递性知①正确，由面面垂直的判定定理知③正确． 【答案】 ①③ 9．P为△ABC所在平面外一点，AC＝a，连接PA、PB、PC，得△PAB和△PBC都是边长为a的等边三角形，则平面ABC和平面PAC的位置关系为________． 【解析】 如图所示，由题意知PA＝PB＝PC＝AB＝BC＝a，取AC中点D，连接PD、BD，则PD⊥AC，BD⊥AC，则∠BDP为二面角P－AC－B的平面角，又∵AC＝a，∴PD＝BD＝a， 在△PBD中，PB2＝BD2＋PD2， ∴∠PDB＝90. 【答案】 垂直 10．精选考题四川高考如图所示，二面角α－l－β的大小是60，线段AB⊂α，B∈l，AB与l所成的角为30，则AB与平面β所成的角的正弦值是________________________________________________________________________． 【解析】 如图，过点A作平面β的垂线，垂足为C，在β内过C作l的垂线，垂足为D，连接AD，由线面垂直关系可知AD⊥l， 故∠ADC为二面角α－l－β的平面角，∴∠ADC＝60.连接CB，则∠ABC为AB与平面β所成的角． 设AD＝2，则AC＝，CD＝1，AB＝＝4，∴sin∠ABC＝＝. 【答案】 三、解答题 11．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．求证 1CD⊥AE；
2PD⊥平面ABE. 【证明】 1在四棱锥P－ABCD中， ∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD. ∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC. 而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE. 2由PA＝AB＝BC, ∠ABC＝60，可得AC＝PA. ∵E是PC的中点，∴AE⊥PC. 由1知，AE⊥CD，且PC∩CD＝C， ∴AE⊥平面PCD，而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD. ∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB. 又∵AB⊥AD且PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD， 而PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD. 又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE. 12．精选考题江苏高考如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90. 1求证PC⊥BC；
2求点A到平面PBC的距离． 【解析】 1证明∵PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD， ∴PD⊥BC. 由∠BCD＝90，得BC⊥DC. 又PD∩DC＝D，∴BC⊥平面PCD. ∵PC⊂平面PCD，∴PC⊥BC. 2如图，连接AC.设点A到平面PBC的距离为h. ∵AB∥DC，∠BCD＝90， ∴∠ABC＝90. 从而由AB＝2，BC＝1， 得△ABC的面积S△ABC＝1. 由PD⊥平面ABCD及PD＝1，得三棱锥P－ABC的体积V＝S△ABCPD＝. ∵PD⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，∴PD⊥DC. 又PD＝DC＝1，∴PC＝＝. 由PC⊥BC，BC＝1，得△PBC的面积S△PBC＝. 由V ＝S△PBCh＝h＝，得h＝. 因此点A到平面PBC的距离为.