2018-2019学年江苏省无锡市锡山区天一中学高二下学期期末数学（理）试题 一、填空题 1．已知集合,则_____. 【答案】 【解析】直接进行交集的运算即可． 【详解】 解∵A＝{2，3，4}，B＝{3，5}；
∴A∩B＝{3}． 故答案为{3}． 【点睛】 考查列举法的定义以及交集的运算，属于基础题. 2．在极坐标系中，点到直线的距离为_____. 【答案】 【解析】把点的极坐标化为直角坐标，把直线的极坐标方程化为直角坐标方程，利用点到直线的距离公式求出A到直线的距离． 【详解】 解点A（2，）的直角坐标为（0，2），直线ρ（cosθsinθ）＝6的直角坐标方程为 xy﹣6＝0，利用点到直线的距离公式可得，点A（2，）到直线ρ（cosθsinθ）＝6的距离为 ， 故答案为 . 【点睛】 本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，属于基础题． 3．若““是““的必要不充分条件,则的取值范围是____． 【答案】 【解析】根据充分条件和必要条件的定义,结合不等式的关系进行求解,即可求得答案. 【详解】 若““是““的必要不充分条件 则 即 即的取值范围是. 故答案为. 【点睛】 本题考查利用必要不充分条件求参数的取值范围,利用“小范围能推出大范围”即可得出参数的范围,考查了分析能力,属于基础题. 4．函数在点处切线的斜率为______ 【答案】 【解析】求得函数的导数，计算得，即可得到切线的斜率． 【详解】 由题意，函数，则，所以，即切线的斜率为， 故答案为． 【点睛】 本题主要考查了利用导数求解曲线在某点处的切线的斜率，其中解答中熟记导数的几何意义的应用，以及准确求解函数的导数是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 5．从2个男生、3个女生中随机抽取2人，则抽中的2人不全是女生的概率是____. 【答案】 【解析】基本事件总数n＝＝10，抽中的2人不全是女生包含的基本事件个数m＝＝7，由此能求出抽中的2人不全是女生的概率． 【详解】 解从2个男生、3个女生中随机抽取2人， 基本事件总数n＝＝10， 抽中的2人不全是女生包含的基本事件个数m＝＝7， ∴抽中的2人不全是女生的概率p＝． 故答案为． 【点睛】 本题考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 6．将函数的图象向右平移个单位后,得到函数的图象，则的值是____. 【答案】0 【解析】利用函数y＝Asin（ωxφ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再代入后可得g（）的值． 【详解】 解将函数f（x）＝sin（2xπ）的图象向右平移个单位后， 得到函数g（x）＝sin[2（x﹣）π]＝cos2x的图象， 则g（）＝cos（2）＝0， 故答案为0． 【点睛】 本题主要考查诱导公式的应用，函数y＝Asin（ωxφ）的图象平移变换，属于基础题． 7．函数在上的减区间为_____． 【答案】 【解析】利用两角和差的正弦公式化简函数的解析式为,结合正弦函数图像,即可求得函数的减区间. 【详解】 函数 根据正弦函数减区间可得 , 解得, 故函数的减区间为 再由,可得函数的减区间为 故答案为 【点睛】 本题主要考查三角函数的单调区间的求法,利用正弦函数的图像和性质是解决本题的关键,考查了计算能力,属于基础题. 8．已知函数是定义在上的周期为的奇函数,时,,则_____． 【答案】 【解析】根据题意,由函数的奇偶性与周期性分析可得,结合解析式求出的值,又因为,即可求得答案. 【详解】 根据题意,函数是定义在上的周期为的奇函数, 则, 函数是定义在上的奇函数 又由,时, 则,则 故答案为 【点睛】 本题考查通过奇函数性质和周期函数性质求值,解题关键是通过赋值法求特定的函数值和利用周期性求函数的值. 9．己知矩阵，若矩阵C满足，则矩阵C的所有特征值之和为____. 【答案】5 【解析】本题根据矩阵乘法运算解出矩阵C，再依据特征多项式求出特征值，即可得到所有特征值之和． 【详解】 解由题意，可设C＝， 则有＝． 即，解得． ∴C＝． ∵f（λ）＝＝（λ﹣1）（λ﹣4）2＝λ2﹣5λ6＝（λ﹣2）（λ﹣3）＝0， ∴特征值λ1＝2，λ2＝3． ∴λ1λ2＝23＝5． 故答案为5． 【点睛】 本题主要考查矩阵乘法运算及依据特征多项式求出特征值，本题不难，但有一定综合性．本题属基础题． 10．已知函数 ,若对任意,存在,，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【解析】利用导数求函数f（x）在（﹣1，1）上的最小值，把对任意x1∈（﹣1，1），存在x2∈（3，4），f（x1）≥g（x2）转化为g（x）在（3，4）上的最小值小于等于1有解． 【详解】 解由f（x）＝ex﹣x，得f′（x）＝ex﹣1， 当x∈（﹣1，0）时，f′（x）＜0，当x∈（0，1）时，f′（x）＞0， ∴f（x）在（﹣1，0）上单调递减，在（0，1）上单调递增， ∴f（x）min＝f（0）＝1． 对任意x1∈（﹣1，1），存在x2∈（3，4），f（x1）≥g（x2）， 即g（x）在（3，4）上的最小值小于等于1， 函数g（x）＝x2﹣bx4的对称轴为x＝． 当≤3，即b≤6时，g（x）在（3，4）上单调递增，g（x）＞g（3）＝13﹣3b， 由13﹣3b≤1，得b≥4，∴4≤b≤6；
当≥4，即b≥8时，g（x）在（3，4）上单调递减，g（x）＞g（4）＝20﹣4b， 由20﹣4b≤1，得b≥，∴b≥8；
当3＜＜4，即6＜b＜8时，g（x）在（3，4）上先减后增，， 由≤1，解得或b，∴6＜b＜8． 综上，实数b的取值范围为[4，∞）． 故答案为[4，∞）． 【点睛】 本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及最值的求法，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，考查计算能力，是中档题． 11．用长度分别为的四根木条围成一个平面四边形，则该平面四边形面积的最大值是____. 【答案】 【解析】在四边形ABCD中，设AB＝a，BC＝b，CD＝c，DA＝d，AC＝2α，利用余弦定理可得 SABCD2（（a2d2﹣b2﹣c2）2＝（adbc）2﹣abcdcos2α（adbc）2，设a＝3，b＝4，c＝5，d＝6，代入计算可得所求最大值． 【详解】 在四边形ABCD中，设AB＝a，BC＝b，CD＝c，DA＝d，AC＝2α， 由SABCD＝S△BADS△BCD＝adsinAbcsinC，① 在△ABD中，BD2＝a2d2﹣2adcosA， 在△BCD中，BD2＝b2c2﹣2bccosC， 所以有a2d2﹣b2﹣c2＝2adcosA﹣2bccosC， （a2d2﹣b2﹣c2）＝adcosA﹣bccosC，② ①2②2可得SABCD2（（a2d2﹣b2﹣c2）2 ＝（a2d2sin2Ab2c2sin2C2abcdsinAsinC）（a2d2cos2Ab2c2cos2C﹣2abcdcosAcosC） ＝ [a2d2b2c2﹣2abcdcos（AC）]＝ [（adbc）2﹣2abcd﹣2abcdcos2α] ＝（adbc）2﹣abcdcos2α（adbc）2． 当α＝90，即四边形为圆内接四边形，此时cosα＝0， SABCD取得最大值为． 由题意可设a＝3，b＝4，c＝5，d＝6 则该平面四边形面积的最大值为S＝6（cm2）， 故答案为6． 【点睛】 本题考查四边形的面积的最值求法，运用三角形的面积公式和余弦定理，以及化简变形，得到四边形为圆内接四边形时面积取得最大值，是解题的关键，属于难题． 12．在中，若，则的最大值为______. 【答案】 【解析】先由题得，再化简得，再利用三角函数的图像和性质求出最大值. 【详解】 在△ABC中，有, 所以 ,当即时取等. 故答案为 【点睛】 本题主要考查三角恒等变换和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解能力掌握水平.解题的关键是三角恒等变换. 二、解答题 13．甲、乙两位同学进入新华书店购买数学课外阅读书籍，经过筛选后，他们都对三种书籍有购买意向，已知甲同学购买书籍的概率分别为,乙同学购买书籍的概率分别为,假设甲、乙是否购买三种书籍相互独立. （1）求甲同学购买3种书籍的概率；
（2）设甲、乙同学购买2种书籍的人数为,求的概率分布列和数学期望. 【答案】（1）；
（2）分布列见解析，. 【解析】（1）这是相互独立事件，所以甲购买书籍的概率直接相乘即可.（2）基本事件为甲购买两本书和乙购买两本书的概率，所以先求出基本事件的概率，然后再求分布列. 【详解】 （1）记“甲同学购买3种书籍”为事件A，则. 答甲同学购买3种书籍的概率为. （2）设甲、乙同学购买2种书籍的概率分别为，. 则， ， 所以，所以. ，， . 所以X的概率分布为 X 0 1 2 P . 答所求数学期望为. 【点睛】 本题考查相互独立事件的概率，考查二项分布独立重复事件的概率的求法，解题的关键是找出基本事件的概率，属于中档题. 14．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB，D，E分别是AB，BB1的中点，且AC＝BC＝AA1＝2． （1）求直线BC1与A1D所成角的大小；
（2）求直线A1E与平面A1CD所成角的正弦值． 【答案】（1）（2） 【解析】（1）建立空间直角坐标系,求出相关点的坐标,求出,,根据,即可求得直线BC1与A1D所成角的大小; （2）由于平面不是特殊的平面,故建系用法向量求解,求出平面的法向量,求和的夹角,即可求得答案. 【详解】 （1）分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系． 如图 则由题意可得， ， 又∵分别是的中点， 直线BC1与A1D所成角的大小. （2）设平面法向量为 由，得,可取 又 直线与平面所成角的正弦值为 【点睛】 本题考查立体几何中异面直线夹角,线面所成角的求法.根据题意画出几何图形,对于立体几何中角的计算问题,可以利用空间向量法,利用向量的夹角公式求解,属于基础题. 15．已知函数. （1）当a2，求函数的极值；
（2）若函数有两个零点，求实数a的取值范围. 【答案】（1）见解析；
2 【解析】（1）代入a的值，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；
（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，结合函数的零点个数确定a的范围即可． 【详解】 （1）当a2时，，令，解得x1. 列表 x 1 0 极小值 所以，当x1时，有极小值，没有极大值 （2）①因为. 所以，. 当时，， 所以在上单调递增，只有一个零点，不合题意， 当时，由得，由得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，即为最小值. 1当时，在上单调递减，在上单调递增， 只有一个零点，不合题意；
2当时，，故，最多有两个零点. 注意到，令, 取，使得，下面先证明；
设，令，解得. 列表 x 0 极小值 所以，当，有极小值. 所以，故，即. 因此，根据零点存在性定理知，在上必存在一个零点， 又x1也是的一个零点，则有两个相异的零点，符合题意 3当时，，故，最多有两个零点. 注意到，取