2020高考数学,考前冲刺第三部分专题四,数列（通用）

2020考前冲刺数学第三部分 【高考预测】 1.数列的概念 2.等差数列 3.等比数列 4.差与等比数列的综合 5.数列与解析几何、函数、不等式的综合 6.数列的应用 7.数列的概念 8.等差数列与等比数列 9.数列的通项与前n项和 10.递推数列与不等式的证明 11.有关数列的综合性问题 12.数列的实际应用 13.数列与图形 【易错点点睛】 易错点 1 数列的概念 1．2020模拟题精选已知数列｛an｝满足a11,ana12a23a3n-1an-1,n≥2，则｛an｝的通项an_________. 【错误答案】 ∵ana12a23a3n-1an-1，∴an-1a12a23a3n-2an-2，两式相减得an-an-1n-1an-1，∴annan-1.由此类推 an-1n-1an-2，a22a1，由叠乘法可得an 【错解分析】 在求数列的通项公式时向前递推一项时应考虑n的范围．当n1时，a1与已知a11，矛盾． 【正确解答】 ∵n≥2时，ana12a23a3n-1an-1① 当n≥3时， an-1a12a23a3n-2an-2② ①-②得 an-an-1n-1an-1∴当n≥3时，n，∵an．．．n43a2a2，∵a2a11 ∴当n≥2时，an . 当n1时，a11故an 2．2020模拟题精选设数列｛an｝的前n项和为Sn,Sn对于所有n≥1，且a454，则a1的数值是________. 【错误答案】∵Sn,∴此数列是等比数列，首项是a1，公比是3，由a4a134-1，∴a12． 【错解分析】 此题不知数列｛an｝的类型，并不能套用等比数列的公式．而答案一致是巧合． 【正确解答】∵a4S4-S334-1-33-154，解得a12． 3.2020模拟题精选已知数列｛an｝满足a11，an3n-1an-1n≥2． 1求a2，a3；

2求通项an的表达式． 【错误答案】 1∵a11，∴a2314，a332413． 2由已知an3n-1an-1，即an-an-13n-1 即an成等差数列，公差d3n-1．故an1n-13n-1． 【错解分析】 2问中an-an-13n-1，3n-1不是常数，它是一个变量，故不符合等差数列的定义． 【正确解答】 1∵a11，∴a24，a332413． 2由已知an-an-13n-1，故anan-an-1an-1-an-2a2-a1a13n-13n-231. 4．典型例题Ⅲ等差数列｛an｝中，a1a2a3-24，a18a19a2078，则此数列前20项和等于 A.160 B．180 C. 200 D．220 则使前n项和Sn0成立的最大自然数n是 A.4005 B．4006 C.4007 D.4008 【错误答案】 ∵a2020a20200，即2a12002d2020d0，a12002da12020d0．即使na1d＞0．这样很难求出a1，d.从而求出最大的自然数 n.故而判断a20200，a20200． 【错解分析】 此题运用等差数列前n项的性质及图象中应注意．a20200，a20200． 且忽视了这两项的大小． 3．2020模拟题精选设无穷等差数列｛an｝的前n项和为Sn. Ⅰ若首项a1，公差d1，求满足Sk2Sk2的正整数k; Ⅱ求所有的无穷等差数列｛an｝；
使得对于一切正整数中k都有Sk2Sk2成立． 【错误答案】 1当a1,d1时，Snn2n，由Sk2Sk2得k4k2，即k0或k4． ∴k≠0．故k4． Ⅱ由对一切正整数k都有Sk2Sk2成立． 即k2a1dka12即a1-k2-adk2k-1k2k2-1-k2k-120对切正整数k恒成立． 故 求得a10或1，d0 ∴等差数列an｛0,0,0,｝，或an｛1，1，1，｝． 【错解分析】 Ⅱ中解法定对一切正整数k都成立．而不是一切实数．故而考虑取k的特值也均成立． 【正确解答】 Ⅰ当a1,d1时，Snna1由Sk2Sk2,得k4k2k2k2，即k30.又k≠0，所以k4． Ⅱ设数列｛an｝的公差为d，则在Sk2Sk2中分别取k1,2,得 由（1）得a10或a11. 当a10时，代入（2）得d0或d6.若a10,d0,则an0,sn0,从而Sk2Sk2成立；
若a10,d6,则an6n-1,由S318，（S3）2324,S9216知S9≠S32，故所得数列不符合题意.当a11时,代入2得 46b2d2解得d0或d2.若a11,d0,则an1,Snn,从而Sk2Sk2成立；
若a11,d2,则an2n-1,Sn13（2n-1）n2,从而Sk2Sk2成立.综上,共有3个满足条件的无穷等差数列①{an}an0,即0，0，0，；
②{an}an1,即1，1，1，；
③{an}an2n-1,即1，3，5，. 4.2020模拟题精选已知数列{an}的各项都是正数,且满足a01,an1an4-an,nN. 1证明an＜an1＜2,n∈N. 2求数列{an}的通项公式an. 【错误答案】 用数学归纳法证明（1）1当n1时，a01,a1a0（4-a0）,∴a0＜a1＜2,命题正确. 2假设nk时有ak-1＜ak＜2.则nk1时， ak-ak1ak-14-ak-1-ak4-ak2ak-1-ak-ak-1-akak-1akak-1-ak4-ak-1-ak.而ak-1-ak＜0. 4-ak-1-ak＞0,∴ak-ak-1＜0.又ak-1ak4-ak[4-ak-22]＜2.∴nk1时命题正确.由1、2知，对一切n∈N时有an＜an1＜2. 2an1an4-an[-an-224].∴2an1-2-an-22∴an1-2an-22令bnan-2,∴bn-122n-1又∵b1a1-2-.∴bn-2n2n-1.即an2-2n2n-1. 【错解分析】 在（Ⅱ）问中求bn的通项时，运用叠代法.最后到b0而不是b1. 【特别提醒】 1.要善于运用等差数列的性质“若mnpq,则amanapaq”；
等差数列前n项和符合二次函数特征.借助二次函数性质进 行数形结合法解等差数列问题. 2.会运用一般与特殊的逻辑思维,利用满足条件的特值求相关参数的值,学会分析问题和解决问题. 【变式探究】 1 在等差数列{an}中,若a4a6a8a10a12120,则a9-a11的值为 A.14 B.15 C.16 D.17 答案 C分析略。

2 等差数列{an}中,若其前n项的和Sn,前m项的和Smm≠n,m,n∈N*,则 A.Smn＞4 B.Smn＜ C.Smn4 D.-4＜Smn＜-2 答案 B分析略。

Ⅲ将Sn表示成关于an的函数. 答案 由a 4在数列{an}中a1,a2,且log23a2-a1log3an1-an,是公差为-1的等差数列，又 2a2-a1,2a3-a2,，2an1-an,是等比数列，公比为q，|q|＜1,这个等比数列的所有项之和等于. 1求数列{an}的通项公式; 答案设bnlog23an1-an,因为{ bn}是等差数列， d-1.b1log23a2-a1log2 即log23an1-a-n,所以3an1-an2-n① 设cn2an1-an,{cn}是等比数列，公比为q,|q|1,c12a2-a12 由 ② 由①,②解得 2计算a1a2an. 2过点Q11,a1,Q22,a2作直线l1、l2,设l1与l2的夹角为θ，求证tanθ≤ 答案直线l2的方程为y-a1dx-,直线l2的斜率为d. tanθ 当且仅当 易错点3 等比数列 1．数列{an}的前n项和记为Sn,已知a11,aa1n1,2,3.证明 Ⅰ数列{}是等比数列；

ⅡSn14an. 【错误答案】 Ⅰ已知a11,an1,∴a23S13,∴S24 a3S2248.∴S313812. 即.故{}是公比为2的等比数列. Ⅱ由Ⅰ知4于是Sn14n14an.又a23.S2a1a24,因此对于任意正整数n≥1,都有Sn14an. 【错解分析】 Ⅰ中利用有限项判断数列类型是运用不完全归纳法,应给予证明. Ⅱ中运用前推一项必须使 n≥2. 【错误答案】 ⅠS1a1-1,得a1-,S2a2-1,即a1a2a2-1,得a2. ⅡanSn-Sn-1an-1-an-1-1,得,所以{an}是首项为-，公比为-的等比数列. 【错解分析】 在利用anSn-Sn-1公式时,应考虑n≥2时才能成立. 【正确解答】Ⅰ由S1a1-1,得a1a1-1,∴a1-.又S2a2-1,即a1a2a2-1,得a2. Ⅱ当n＞1时,anSnSn-1an-1-an-1-1,得-,所以{an}是首项为-,公比为-的等比数列. 3.2020模拟题精选等比数列的四个数之和为16,中间两个数之和为5,则该数列的公比q的取值为 A. 或4 B. 或 C. 4或- D. 4或或或 【错误答案】 设这四个数为,aq,aq3.由题意得由①得a,代入②得q或q22.q2或q24,故所求的公比为或4.故应选A. 【错解分析】 上述解答设等比数列的公比为q2是不合理的.这相当于增加了四个数同号这个条件,而题设中的四个数不一定同号.因此,产生了漏解现象. Ⅱbn1a2n1-. Ⅲ求b1b2b3bn