甘肃省岷县第一中学2020学年高二数学上学期期末考试试题 理 （时间120分钟，分值150分） 说明本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题） 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 一、选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案写在答题卡上 1．设集合，则（ ） A． B． C． D． 2．不等式的解集为 A． B． C．∪[1，＋∞ D．∪[1，＋∞ 3. 已知命题甲动点到两定点的距离之和，其中为大于0的常数；
命题乙点的轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的 A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件 4.记等差数列的前项和为 .若则 A．16 B．24 C． 36 D． 48 5.在，则∠等于 A．30或150 B．60 C．60或120 D．30 6. 已知一个等比数列的前项和为48，前项和为60，则前项和为 A． 63 B． 108 C． 75 D． 83 7.已知锐角的内角的对边分别为等于 A． 10 B． 9 C． 8 D． 5 8. 若抛物线上有两点，且垂直于轴，若，则抛物线的焦点到直线的距离为 A． B． C． D． 9. 一只蜂巢里有1只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了5个伙伴；
第2天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴，，如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有蜜蜂 A．55986只 B．46656只 C．216只 D． 36只 10.已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，,则线段 的中点到轴的距离为 （ ） A． B． C． D． 11.已知是双曲线的左、右焦点，点在上，与轴垂直，，则的离心率为（ ） A． B． C． D．2 12.已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于两点，为坐标原点．若双曲线的离心率为2，的面积为，则等于 A．1 B． C．2 D．3 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分.） 13． 命题“若则”的逆否命题为______________. 14． 已知各项均为正数的等比数列中，，则的值为______________. 15．设集合S＝{|||}，T＝{}，S∪T＝R，则的取值范围是____________． 16．过双曲线的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交于点，若点的横坐标为，则的离心率为________． 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分12分）在锐角中，内角所对的边分别为.已知. 1求角的值；
2若，且，求的值． 18.（本小题满分12分）求适合下列条件的曲线的标准方程． 1经过点，且一条渐近线方程为的双曲线；
2两个焦点坐标分别为，并且经过点的椭圆. 19.已知正项等比数列，，与的等比中项为. （1）求数列的通项公式；
（2）令，数列的前项和为. 20.（本小题满分12分）如图所示，港口在港口正东方向120海里处，小岛在港口北偏东60方向，且在港口北偏西30方向上，一艘科学考察船从港口出发，沿北偏东30的方向以20海里/时的速度行驶，一艘快艇从港口出发，以60海里/时的速度驶向小岛，在岛装运补给物资后给考察船送去，现两船同时出发，补给物资的装船时间为1小时，则快艇驶离港口后，最少要经过多少小时才能和考察船相遇 21.（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为， 的面积为1. 1求椭圆的方程；
2设是椭圆上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点.求证为定值． 22.（本小题满分12分）设函数． 1当时，求不等式的解集；
2若，求的取值范围． 参考答案（理科） 一、选择题每小题5分，共60分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C A B D C A D A B C A B 二、填空题每小题5分，共20分 13.若 中至少有一个为0，则 14. 100 15. 16. 三、解答题 17.解【解析】解 1由a＝2csinA及正弦定理， 得＝＝. ∵sinA≠0，∴sinC＝. 又∵△ABC是锐角三角形，∴C＝.5分 2 c＝，C＝， 由面积公式，得absin＝， 即ab＝6，①7分 由余弦定理，得a2＋b2－2abcos＝7， 即a2＋b2－ab＝7，②9分 由②变形得a＋b2＝3ab＋7，③ 将①代入③得a＋b2＝25，故a＋b＝5.12分 18.解（1）因渐近线为4x＋3y＝0，故可设双曲线的方程为16x2－9y2＝k， 将代入得，k＝225－81＝144. 代入①并整理得－＝1.故所求双曲线的标准方程为－＝1 6分 （2）因为椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为. 由椭圆的定义知，所以 又因为. 因此，所求椭圆标准方程为 .．．．．．．．．．．．．．．．．．．12 19.（1）因为正项等比数列，所以，设公比为，则. 又因为与的等比中项为，所以，即，由，得， 于是，数列的通项公式为.4分 （2）由题可知，，5分 于是，① ②6分 由①②，得 8分 .10分 解得12分 20解 设快艇驶离港口B后，经过x小时，在OA上的点D处与考察船相遇.如图所示，连接CD，则快艇沿线段BC，CD航行.在△OBC中，由题意得∠BOC＝30，∠CBO＝60， 所以∠BCO＝90.3分 因为BO＝120，所以BC＝60，OC＝60. 故快艇从港口B到小岛C需要1小时，所以x1.6分 在△OCD中，由题意得∠COD＝30，OD＝20 x，CD＝60x－2. 由余弦定理，得CD2＝OD2＋OC2－2ODOCcos∠COD， 所以602x－22＝20 x2＋602－220 x60cos 30. 解得x＝3或x＝，因为x1，所以x＝3.10分 所以快艇驶离港口B后，至少要经过3小时才能和考察船相遇.12分 21.1解 由题意，得解得 所以椭圆C的方程为＋y2＝1.5分 2证明 由1知，A2,0，B0,1．设Px0，y0，则＋4＝4. 当x0≠0时，直线PA的方程为y＝x－2．6分 令x＝0，得yM＝－， 从而|BM|＝|1－yM|＝|1＋|. 直线PB的方程为y＝x＋1.8分 令y＝0，得xN＝－， 从而|AN|＝|2－xN|＝|2＋|. 所以|AN||BM|＝|2＋||1＋|＝ ＝＝4.10分 当x0＝0时，y0＝－1，|BM|＝2，|AN|＝2. 所以|AN||BM|＝4.11分 综上，|AN||BM|为定值．12分 22.解（本小题满分12分） （1）解析当时， 可得的解集为 ．5分 （2） 等价于 而，且当时等号成立．故等价于．由可得所以的取值范围是10分