2、理解 （1）勾股定理存在和运用的前提条件是在直角三角形中，如果不是直角三角形，那么三边之间不存在这种关系。
（2）勾股定理把“图形”与“数量”有机地结合起来，即把直角三角形的“形”与三边关系的“数”结合起来，是数形结合思想的典型代表之一。
（3）利用勾股定理，可以在直角三角形中已知两边长的情况下，求出未知的第三边长。
一般情况下，用表示直角边，表示斜边，则有 在运用勾股定理求第三边时，首先应确定是求直角边还是求斜边，在选择利用勾股定理的原形公式还是变形公式。
【例1】在中，， （1）若则 ；
（2）若，则 ；
（3）若，则 ， 。
【例2】已知直角三角形的两边长分别是3和4，如果这个三角形是直角三角形，求以第三边为边长的正方形的面积。
3、勾股定理的验证 至少掌握勾股定理的三种验证方法，并从中体会到这种验证方法所体现的数学思想。
【例3】2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的勾 股圆方图，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所 示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形较短直角边为a，较长 直角边为b，那么的值为（ ）． A．13 B．19 C．25 D．169 ●应会 基本方法 1、如何利用勾股定理求长度 利用勾股定理求长度，关键是找出直角三角形或构造直角三角形，把实际问题转化为直 角三角形问题。在已知两边求第三边时，关键是弄清已知什么边，要求什么边，用平方和还 是平方差。
【例4】如图，有一只小鸟在一棵高13m的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m，高8m的一棵小树树梢上发出友好的叫声，它立刻以2m/s的速度飞向小树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起 【例5】已知如图，四边形ABCD中，∠B，∠D是Rt∠，∠A45．若DC2cm， AB5cm，求AD和BC的长． 【例6】如图，第①个等腰直角三角形的直角边长等于1，以它的斜边长为腰长作第② 个等腰直角三角形，再以第②个等腰直角三角形的斜边长为腰长作第③个等腰直角三角形．依次得到一系列的等腰直角三角形，其序号依次为①、②、③、④、． （1）分别求出第①、②、③、④个等腰直角三角形的斜边长；
（2）归纳出第n个等腰直角三角形的斜边长．（n为正整数） 2、如何利用勾股定理求面积 利用勾股定理求面积，关键是注意转化思想的应用，把所求得面积转化到已知的数量关 系中去，有时还要注意整体思想的应用。
【例7】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90○，以△ABC各边为边在△ABC外作三个正方形，S1，S2，S3分别表示这三个正方形的面积，S181，S3 225，则S2 。
S1 S2 S3 A B C 变式将△ABC外的三个正方形换成其它图形是否有类似结论呢 如图，以直角三角形的三边为直径作三个半圆，则这三个半圆的面积S1、S2、S3之间的关系是______． 【例8】下图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是 直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（ ） A．13 B．26 C．47 D．94 【例9】直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积。
3、勾股定理与方程相结合的应用 在进行直角三角形的有关计算中，如果不能直接运用勾股定理求解时，往往通过勾股定理列方程求解。
【例10】如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC6cm，BC8cm，现将直角边AC沿直线AD对折，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长． 【例11】如图，△ABC中，AB13，BC14，AC15，求BC边上的高AD． 【例12】为了丰富少年儿童的业余文化生活，某社区在如图9所示AB所在的直线上建一图书阅览室，本社区有两所学校所在的位置在点C和D处．CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，已知AB25km，CA15km，DB10km，试问阅览室E应建在距A多少㎞处，才能使它到C、D两所学校的距离相等 【例13】一架梯子的长度为25米，如图斜靠在墙上，梯子顶端离墙底端为7米。
1这个梯子顶端离地面有多高 2如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向滑动了几米 【规律总结】 第二节 勾股定理逆定理 ● 应知 基础知识 1、勾股定理逆定理的内容如果三角形的三边长a，b，c满足 ，那么这个三角形是 ，且最长边所对的角为 。
总结到目前为止判定直角三角形的方法有多少种了 2、理解（1）勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；
勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。
（2）如何用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形 首先确定最大边（如C，但不要认为最大边一定是C） 其次验证c2与a2b2是否具有相等关系，若c2a2b2，则△ABC是以∠C为直角的三角形；
若c2a2b2，则△ABC是以∠C为钝角的三角形；
若c2a2b2，则△ABC是以∠C为锐角三角形。
3．勾股数 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为 ． 显然，一组勾股数必须满足两个条件①满足 ；
②都是 。
若a，b，c为一组基本勾股数，则ka，kb，kc也为勾股数，其中k为正整数。即将一组勾股数同时扩大或缩小相同的倍数仍是一组勾股数。
【例1】若三角形三边长分别为，当 时，此三角形为直角三角形。
【例2】①；
②；
③；
④，且为自然数）。
上面各组数中，勾股数有 （填序号）。
● 应会 基本方法 1、利用非负数的性质判断三角形的形状 【例3】已知，试判断以为三边长的三角形的形状。
【练习】如果一个三角形的三边长满足，试说明这个三角形是直角三角形。
【例4】请阅读下列解题过程已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2-b2c2a4-b4，试判断△ABC的形状． 解∵a2c2-b2c2a4-b4，A ∴c2（a2-b2）（a2b2）（a2-b2），B ∴c2a2b2，C ∴△ABC为直角三角形．D 问（1）在上述解题过程中，从哪一步开始出现错误第C步 ；
（2）错误的原因是等式两边同时除以a2-b2 ；
（3）本题正确的结论是直角三角形或等腰三角形 ． 【规律总结】 2、勾股数 【例5】观察下表 列举猜想 3，4，5 3245 5，12，13 521213 7，24，25 722425 13，b，c 132bc 请你结合该表格及相关知识，求出b，c的值． 【练习】（1）一位同学从勾股数“3，4，5”中发现，，由此他发现最小数是奇数的勾股数的构造方法．你发现了吗请你写出一下几组勾股数组 5， 12， 13；
7， 24， 25；
9， 40， 41；
（2）写出一般规律的表达方式，（用字母n表示，n为正整数） 【例6】我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的称为股，斜边称为弦．并 发现了“勾股定理”．若直角三角形三边长都为正整数，则称为一组勾股数，如“勾3股4弦5”．勾股数的寻找与判断不是件很容易的事，不过还是有一些规律可循的．（以下n为正整数，且n≥2） （1）观察3、4、5；
5、12、13；
7、24、25；
，小明发现这几组勾股数的勾都是奇数，从3起就没有间断过，且股和弦只相差1．小明根据发现的规律，推算出这一类的勾股数可以表示为2n-1、2n（n-1）、2n（n-1）1．请问小明的这个结论正确吗 （2）继续观察第一个数为偶数的情况4、3、5；
6、8、10；
8、15、17；
， 你能像小明一样发现每组勾股数中的其他两边长都有何规律吗若用2n表示第一个偶数，请分别用n的代数式来表示其他两边，并证明确实是勾股数． 【规律总结】 1、解题时，记住常见的勾股数可以提高解题速度，如 2、用含字母的代数式表示的勾股数 ①（为正整数）；
②（为正整数）；
③（为正整数）。
3、勾股定理及勾股定理逆定理的综合应用 勾股定理及勾股定理逆定理的综合应用主要体现在下面几个方面 （1）利用勾股定理及勾股定理逆定理解决生活中的实际问题；
（2）计算图形中的线段、角度以及面积的大小；
（3）证明线段垂直或成平方和关系。
【例7】如图，四边形ABCD中，已知∠BAD 90，且AB3，BC12，CD13，DA4．求四边形的面积． 变式如图所示，在四边形ABCD中，已知ABBCCDDA2231，且∠ B90，求∠DAB的度数． 【例8】如图，在正方形ABCD中，边长为4a，F为DC的中点，E为BC上一点，且CE BC，问AF与EF会垂直吗若垂直，说明理由；
若不垂直，请举出反例． 【例9】如图，在中，，是上任一点。求证 B C P A 。
提示 作AE垂直于BC 因为AEBECE BP2CP2BEPE2BE-PE22BE22PE2 因为勾股定理 BE2PE2AP2 所以BP2CP22AP2 【例10】矩形ABCD的边长AB6，BC4，点F在DC上，DF2．动点M、N分别从点D、B同时出发，沿线段DA、线段BA向点A的方向运动，当动点Ｍ运动到点A时，M、N两点同时停止运动．连续FM、FN。设点M、N的运动速度都是1个单位/秒，M、N运动的时间为x秒，问当ｘ为多少时， Ｆ Ｎ Ｍ Ｃ Ｂ Ａ Ｄ 【规律总结】 第三节 蚂蚁怎样走最近 ● 应知、应会 基础知识及基本方法 遇到蚂蚁怎样走最近的问题时要明确应把立体图形展开转化为平面图形来解决，除了用到侧面展开图的知识外，也用到勾股定理和线段公理等基本数学知识，在展开后我们会发现多个不同的答案需要进行比较，选择