内蒙古呼和浩特市2020届高三第二次质量普查调研考试（二模）理科数学试题（PDF版含答案）

由两个统计图表可以求得 选择 D 选项的人数和扇形统计图中 E 的圆心角度数分别为 A 500 28 8 B 250 28 6 C 500 28 6 D 250 28 8 6 执行如图所示的程序框图 输出的 s 值为 A 2B 3 2 C 5 3 D 8 5 7 设 m n 是空间的两条直线 是空间的两个平面 当 m奂 时 n 是 m n 的 A 充要条件B 充分不必要条件 C 必要不充分条件D 既不充分也不必要条件 8 函数 y tan 2x 3 的图象向右平移 3 个长度单位后 得到的图象对应的函数解析式 为 y g x 则下面四个判断 g x 在 x 5 12 11 12 蓘蓡上单调递增 g x 在 x 4 4 蓘蓡上单调递增 g 11 6 3姨 6 0 是 g x 的一个对称中心 其中正确的判断有 A 4 个B 3 个C 2 个D 1 个 9 已知实数 m 是给定的常数 则函数 f x mx3 x2 2mx 1 的图象不可能是 A B C D 10 己知点 P 1 m 在椭圆x 2 4 y2 1 的外部 则直线 y 2mx 3姨与圆 x2 y2 1 的位置关系为 A 相离B 相切C 相交D 相交或相切 11 已知定义在 R 上的函数 f x 满足 f x f 2 x 0 f x f 2 x 0 在 1 1 上表达式 为 f x 1 x2姨x 1 0 1 xx 0 1 嗓 则函数 f x 与函数 g x 2xx 0 log1 2 xx 0 扇 墒 设 设 设 设 缮设 设 设 设 的图象在区间 3 3 上的交点个数为 A 6B 8C 5D 7 注意事项 1 本试卷分第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 答卷前 考生务必将自己的 姓名 考生号 座位号涂写在答题卡上 本试卷满分 150 分 考试时间 120 分钟 2 回答第 卷时 选出每小题答案后 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其他答案标号 写在本试卷上无效 3 答第 卷时 将答案写在答题卡上 写在本试卷上无效 4 考试结束 将本试卷和答题卡一并交回 第 I 卷 一 单项选择题 本题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中只有 一项是符合题目要求的 1 若复数 z 满足 1 i z 3姨 i 则 z 的虚部为 A 1B 2C iD 2i 2 设 U 1 0 1 2 集合 A x x2 1 x U 则 CUA A 0 1 2 B 1 1 2 C 1 0 2 D 1 0 1 3 已知 为第三象限角 且 sin cos 2m sin2 m2 则 m 的值为 A 1 3 B 2姨 2 C 3姨 3 D 2姨 3 4 已知AB AD AC 设AC BD b 軋 则AB A 1 2 b 軋 B 1 2 b 軋 C 1 2 b 軋 D 1 2 b 軋 5 每到春夏交替时节 雌性杨树会以满天飞絮的方式来传播下一代 漫天飞舞的杨絮易 引发皮肤病 呼吸道疾病等 给人们造成困扰 为了解市民对治理杨絮方法的赞同情 况 某课题小组随机调查了部分市民 问卷调查表如下表所示 并根据调查结果绘制 了尚不完整的统计图表 如下图 高三年级理科数学质量普查调研试卷第 1 页 共 4 页 高三年级理科数学质量普查调研试卷第 2 页 共 4 页 治理杨絮 您选哪一项 单选 A 减少杨树新增面积 控制杨树每年的栽种量 B 调整树种结构 逐渐更换现有杨树 C 选育无絮杨品种 并推广种植 D 对雌性杨树注射生物干扰素 避免产生飞絮 E 其他 2020 届呼和浩特市高三年级第二次质量普查调研考试 理科数学 开始 k 0 s 1 s s 1 s k 4 结束 输出 否 是 k k 1 1 直线 l x my 1 m R 与轨迹 C 交于 A B 两点 问 在 x 轴上是否存在定点 M a 0 a 0 使得直线 MA 与 MB 关于 x 轴对称而与直线 l 的位置无关 若存 在 求出点 M 的坐标 若不存在 请说明理由 20 12 分 为了更好地贯彻党的 五育并举 的教育方针 某市要对全市中小学生 体能达 标 情况进行了解 决定通过随机抽样选择几个样本校对学生进行体能达标测试 并 规定测试成绩低于 60 分为不合格 否则为合格 若样本校学生不合格人数不超过其 总人数的5 则该样本校体能达标为合格 已知某样本校共有 1000 名学生 现从中随 机抽取40 名学生参加体能达标测试 首先将这 40 名学生随机分为甲 乙两组 其中甲 乙两组学生人数的比为 3 2 测试后 两组各自的成绩统计如下 甲组的平均成绩为 70 方差为 16 乙组的平均成绩为 80 方差为 36 估计该样本校学生体能测试的平均成绩 求该样本校 40 名学生测试成绩的标准差 s 假设该样本校体能达标测试成绩服从正态分布 N 2 用样本平均数 作为 的估计值 赞 用样本标准差 s 作为 的估计值 赞 利用估计值估计该样本校 学生体能达标测试是否合格 注 1 本题所有数据的最后结果都精确到整数 2 若随机变量 z 服从正态分布 则 p Z 0 6826 p 2 Z 2 0 9544 p 3 Z 3 0 9974 21 12 分 已知函数 f x ex m x 1 1 m R 若函数 f x 的极小值为 1 求实数 m 的值 若函数 y f x m 2 ln x 1 在 x 0 时 其图象全部都在第一象限 求实数 m 的 取值范围 请考生在第 22 23 题中任选一题做答 如果多做 则按所做的第一题记分 做答时 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑 选修 4 4 坐标系与参数方程 22 10 分 在极坐标系中 已知极点为 O 点 A 的极坐标为 4 3 动点 P 满足OP AP 0 写出动点 P 的轨迹 C 的极坐标方程 已知直线 2 3 R 和 6 R 与轨迹 C 分别交于异于极点 O 的 一点 并分别记为 M N 点 D 是线段 OA 的中点 求出 OMN 与 ADM 的面积 选修 4 5 不等式选讲 23 10 分 已知 A a2 b2 5 B 2 2a b a b R a b 比较 A 与 B 的大小 已知 a b c 0 1 求证 1 a b 1 b c 1 c a 中至少有一个不大于 1 4 12 已知 A F P 分别为双曲线x 2 a2 y 2 b2 1 a 0 b 0 的左顶点 右焦点以及右支上的动点 若 PFA 2 PAF 恒成立 则双曲线的离心率为 A 2姨B 3姨C 2D 1 3姨 第 卷 本卷包括必考题和选考题两部分 第 13 题 21 题为必考题 每个试题考生都必须 做答 第 22 题 第 23 题为选考题 考生根据要求做答 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 把正确答案填在答题卡的相应位置 13 2 0 乙 x 1 dx 14 将标号为 1 2 3 的 3 个不同小球 随机放入 5 个不同的盒子 A B C D E 中 则恰有 两个小球放入同一个盒子的概率为 15 如图 某湿地为拓展旅游业务 现准备在湿地内建造一个观景台 P 已知射线 AB AC 为湿地两边夹角为 120 的公路 长度均超过 2 千米 在两条 公路 AB AC 上分别设立游客接送点 M N 且 AM AN 2 千米 若要求观景台 P 与两接送点所成角 MPN 与 BAC 相等 记 PMA 观景台 P 到 M N 建造的两条观光线路 PM 与 PN 之和记为 y 则把 y 表示为 的函数为 y 当两条观光线路之和最长时 观 景台 P 到 A 点的距离 PA 千米 16 已知正方体的棱长为 2 平面 过正方体的一个顶点 且与正方体每条棱所在直线所 成的角相等 则该正方体在平面 内的正投影面积是 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 12 分 如图 三棱柱 ABC A1B1C1中 D 是 AB 的中点 证明 BC1 平面 A1CD 若 ABC 是边长为 2 的正三角形 且 BC BB1 CBB1 60 平面 ABC 平面 BB1C1C 求平面 A1CD 与侧面 BB1C1C 所成二面角的正弦值 18 12 分 已知数列 an嗓瑟的前 n 项和 Sn 2n n N 求数列 an 嗓瑟的通项公式 若 bn n 1 log2 2an 求数列 1 bn 嗓瑟的前 n 项和 Tn 19 12 分 已知一条曲线 C 在 y 轴右侧 曲线 C 上任意一点到点 F 1 0 的距离减去它到 y 轴的距离都等于 1 求曲线 C 的方程 高三年级理科数学质量普查调研试卷第 3 页 共 4 页 高三年级理科数学质量普查调研试卷第 4 页 共 4 页 2 2020 年呼和浩特市高三年级第二次质量普查调研考试参考答案及评分标准 理 科 数 学 一 选择题 1 5 ABCAA 6 10 DBDDC 11 12 AC 二 填空题 13 014 15 4sin 6 6 2 2 注 本题第一问 2 分 如解析式没有化简 或化成别的形式 只要关系式正 确都可以给分 定义域也不做要求 16 三 解答题 17 本小题满分 12 分 证明 连接 AC1 记 AC1 AC E 连接 DE 因为 D 是 AB 的中点 所以 DE BC1 3 分 又 DE 平面 A1CD BC1 平面 A1CD 4 分 故 BC1 平面 A1CD 5 分 取 BC 边中点点 O 连接 AO B1O 因为 BC BB1 ABC 为等边三角形 CBB1 所以 AO BC B1O BC 又平面 ABC 平面 BB1C1C 且平面 ABC 平面 BB1C1C BC 所以 AO BC OB1两两互相垂直 6 分 故以 O 为原点 建立空间直角坐标系 O xyz 如图所示 则由题意可知 C 1 0 0 D 1 2 0 2 A1 1 7 分 设平面 A1CD 的法向量n1 x y z 3 则 n1 CD 0 n1 CA1 0 即 2 x 2 z 0 y z 0 令 y 1 解得 x y 1 得n1 1 1 9 分 显然平面 BB1C1C 的一个法向量为n2 0 0 1 10 分 cos n1 n2 n1 n2 21 7 11 分 二面角的正弦值为2 7 7 12 分 18 本小题满分 12 分 解 1 当 n 1 时 1 2a 当2n 时 Sn 2n Sn 1 1 2n 1 得 1 2n n a 3 分 经检验 1 a不符合上式 1 2 1 2 2 n n n a n 5 分 2 由 1 得当 n 1 时 1 2b 6 分 当2n 时b n n 1 log2an n 1 n 1 8 分 n 11111 2 b11211 n nnnn 9 分 n 12n 111 bbb 111111111 1 10 223243511 521 12 421 S nn n n n 分 分 19 本小题满分 12 分 4 解 1 设 P x y 是曲线 C 上任意一点 那么点 P x y 满足 x 1 2 y2 x 1 化简得y2 4x 3 分 又因为曲线 C 在 y 轴右侧 故 x 0 所以曲线 C 方程为 y2 4x x 0 4 分 2 在 x 轴上存在定点 M 1 0 使得直线 MA 与 MB 关于 x 轴对称而与 l 位置无关 理由如下 设直线 x my 1 与曲线 C 的交点坐标为A y1 2 4 y1 B y2 2 4 y2 5 分 由 x my 1 y2 4x 消去 x 整理得y2 4my 4 0 16m2 16 0 由韦达定理得y1 y2 4m y1y2 4 7 分 假设存在点 M a 0 使得直线 MA 与 MB 关于 x 轴对称而与 l 位置无关 则 k MA kMB 0 对任意实数 m 恒成立 8 分 即 y1 y12 4 a y2 y22 4 a 0 对任意实数 m 恒成立 而 y1 y22 4 a y2 y12 4 a 0 所以 y1y2 4 y1 y2 a y1 y2