2020届高考数学一轮复习讲解与练习 2.6指数与指数函数理 新人教A版 [备考方向要明了] 考 什 么怎 么 考1.了解指数函数模型的实际背景． 2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算． 3.理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点． 4.知道指数函数是一类重要的函数模型.1.主要以选择题或填空题的形式考查指数函数的值域以及指数函数的单调性、图象三个方面的问题，如2020年上海T7. 2.常与其他问题相结合进行综合考查，如与对数的运算、数值的大小比较等相结合. [归纳知识整合] 1．根式 1根式的概念 根式的概念符号表示备注如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根n＞1且nN*当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数零的n次方根是零当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数a0负数没有偶次方根 2两个重要公式 ＝ n＝a注意a必须使有意义． [探究] 1.＝a成立的条件是什么 提示当n为奇数时，aR；
当n为偶数时，a≥0. 2．有理数指数幂 1幂的有关概念 ①正分数指数幂a＝a＞0，m，nN*，且n＞1；
②负分数指数幂a＝＝a＞0，m，nN*，且n＞1；
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义． 2有理数指数幂的性质 aras＝ar＋sa＞0，r，sQ；
ars＝arsa＞0，r，sQ；
abr＝arbra＞0，b＞0，rQ． 3．指数函数的图象与性质 y＝axa＞10＜a＜1图象定义域R值域0，＋∞性质1过定点0,12当x＞0时，y＞1；
x＜0时，0＜y＜12当x＞0时，0＜y＜1；
x＜0时，y＞13在R上是增函数3在R上是减函数 [探究] 2．如图是指数函数1y＝ax，2y＝bx，3y＝cx，4y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系如何你能得到什么规律 提示图中直线x＝1与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c1d11a1b1，所以，cd1ab，即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大． 3．函数y＝ax，y＝a|x|，y＝|ax|a0，a≠1，y＝x之间有何关系 提示y＝ax与y＝|ax|是同一个函数的不同表现形式；
函数y＝a|x|与y＝ax不同，前者是一个偶函数，其图象关于y轴对称，当x≥0时两函数图象相同；
y＝ax与y＝x的图象关于y轴对称． [自测牛刀小试] 1．教材习题改编化简[－26]－－10的结果为 A．－9 B．－10 C．9 D．7 解析选D [－26]－－10＝26－1＝8－1＝7. 2．化简a0，b0的结果是 A. B．ab C．a2b D. 解析选D 原式＝＝＝＝ab－1＝. 3．函数fx＝2|x－1|的图象是 解析选B fx＝ 根据分段函数即可画出函数图象． 4．教材习题改编函数y＝ 的定义域为________． 解析要使函数有意义，需1－x≥0，即x≤1， x≥0，即定义域为[0，＋∞． 答案[0，＋∞ 5．若函数fx＝ax－1a0，a≠1的定义域和值域都是[0,2]，则实数a＝________. 解析当a1时，fx＝ax－1在[0,2]上为增函数， 则a2－1＝2，a＝.又a1，a＝. 当0b，若fx的图象如图所示，则函数gx＝ax＋b的图象是 2若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________． [自主解答] 1由已知并结合图象可知00，a≠1的图象，应抓住三个关键点1，a，0,1，. 2与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象.3一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解. 2．2020四川高考函数y＝ax－aa0，且a≠1的图象可能是 解析选C 当x＝1时，y＝a1－a＝0， 函数y＝ax－a的图象过定点1,0， 结合图象可知选C. 3．2020盐城模拟已知过点O的直线与函数y＝3x的图象交于A，B两点，点A在线段OB上，过A作y轴的平行线交函数y＝9x的图象于C点，当BC平行于x轴时，点A的横坐标是________． 解析设Ax1，y1，Bx2，y2，由题意可得，Cx1，y2，所以有又A，O，B三点共线，所以kAO＝kBO，即＝，代入可得，＝＝，即＝，所以x1＝log32. 答案log32 指数函数的性质及应用 [例3] 已知函数fx＝ax2－4x＋3 1若a＝－1，求fx的单调区间；
2若fx有最大值3，求a的值；
3若fx的值域是0，＋∞，求a的值． [自主解答] 1当a＝－1时， fx＝－x2－4x＋3， 令gx＝－x2－4x＋3， 由于gx在－∞，－2上单调递增，在－2，＋∞上单调递减，而y＝t在R上单调递减， 所以fx在－∞，－2上单调递减，在－2，＋∞上单调递增，即函数fx的单调递增区间是－2，＋∞，单调递减区间是－∞，－2． 2令hx＝ax2－4x＋3，fx＝hx， 由于fx有最大值3，所以hx应有最小值－1， 因此必有解得a＝1， 即当fx有最大值3时，a的值等于1. 3由指数函数的性质知，要使y＝hx的值域为0，＋∞．应使hx＝ax2－4x＋3的值域为R， 因此只能a＝0因为若a≠0，则hx为二次函数，其值域不可能为R．故a的值为0. 利用指数函数的性质解决问题的方法 求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决． 4．设a0且a≠1，函数y＝a2x＋2ax－1在[－1,1]上的最大值是14，求a的值． 解令t＝axa0且a≠1， 则原函数化为y＝t＋12－2t0． 当00，所以a＝. 当a1时，x[－1,1]，t＝ax， 此时ft在上是增函数． 所以ftmax＝fa＝a＋12－2＝14， 解得a＝3a＝－5舍去．综上得a＝或a＝3. 1个关系分数指数幂与根式的关系 根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算． 2个应用指数函数单调性的应用 1比较指数式的大小 若两个指数式的底数相同、指数不同，则根据底数与1的大小，利用指数函数的单调性，通过自变量的大小关系判断相应函数值的大小；
若两个指数式的底数不同、指数也不同，则常借助1,0等中间量进行比较． 2解指数不等式 形如axab的不等式，借助于函数y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a1与0b的不等式，需先将b转化为以a为底的指数幂的形式． 3个注意指数式的化简及指数函数的应用需注意的问题 1在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数． 2指数函数y＝axa0，a≠1的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意区分a1与00，b0， 2a＋2a＝2b＋3b2b＋2b. 令fx＝2x＋2xx0，则函数fx为单调增函数． ab. [答案] A 1．本题有以下创新点 1命题方式的创新本题没有直接给出指数函数模型，而是通过观察题目特点构造相应的函数关系式． 2考查内容的创新本题将指数函数、一次函数的单调性与放缩法、导数法的应用巧妙结合，考查了考生观察分析问题的能力及转化与化归的数学思想． 2．解决本题的关键有以下两点 1通过放缩，将等式问题转化为不等式问题． 2构造函数，并利用其单调性解决问题． 1．若函数fx＝则不等式－≤fx≤的解集为 A．[－1,2[3，＋ B．－，－3][1，＋∞ C. D．1， ][3，＋∞ 解析选B 函数fx＝和函数gx＝的图象如图所示，从图象上可以看出不等式的解集是两个无限区间．当x1．当K＝时，函数fKx在下列区间上单调递减的是 A．－∞，0 B．－a，＋∞ C．－∞，－1 D．1，＋∞ 解析选D 函数fx＝a－|x|a1的图象为右图中实线部分，y＝K＝的图象为右图中虚线部分，由图象知fKx在1，＋∞上为减函数. 1．化简的结果是 A．－ B. C．－ D. 解析选A 依题意知xc. 3．函数y＝x2 的值域是 A．0，＋∞ B．0,1 C．0,1] D．[1，＋∞ 解析选C x2≥0，x2≤1，即值域是0,1]． 4．2020广州模拟定义运算ab＝，则fx＝2x2－x的图象是 解析选C x≥0时，2x≥1≥2－x0；
x0时有两个不相等的实数根，即方程x2－2mx＋2＝0的判别式Δ＝4m2－420，解得m.故所求实数m的取值范围是，＋∞． 二、填空题本大题共3小题，每小题5分，共15分 7．已知函数fx＝4＋ax－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是________． 解析令x－1＝0，即x＝1，则f1＝5. 图象恒过定点P1,5． 答案1,5 8．函数y＝x－3x在区间[－1,1]上的最大值等于________． 解析由y＝x是减函数，y＝3x是增函数，可知 y＝x－3x是减函数，故当x＝－1时函数有最大值. 答案 9．对于函数fx，如果存在函数gx＝ax＋ba，b为常数，使得对于区间D上的一切实数x都有fx≤gx成立，则称函数gx为函数fx在区间D上的一个“覆盖函数”，设fx＝2x，gx＝2x，若函数gx为函数fx在区间[m，n]上的一个“覆盖函数”，则|m－n|的最大值为________． 解析因为函数fx＝2x与gx＝2x的图象相交于点A1,2，B2,4，由图可知，[m，n][1,