2020考前冲刺数学第三部分 【高考预测】 1.向量及其运算 2.平面向量与三角、数列 3.平面向量与平面解析几何 4.解斜三角形 5.向量与轨迹、直线、圆锥曲线等知识点结合 6.平面向量为背景的综合题 【易错点点睛】 易错点1 向量及其运算 1 2020模拟题精选如图6-1，在 Rt△ABC中，已知BCa，若长为 2a的线段PQ以点A为中点，问与 的夹角θ取何值时．的值最大并求出这个最大值． 【错误答案】 此后有的学生接着对上式进行变形，更多的不知怎样继续． 【错解分析】 此题是湖北省20典型例题已知，|a|，|b|3，a与b的夹角为45，当向量aλb与λab的夹角为锐角时，求实数A的范围． 【错误答案】 由已知ab|a||b|cos453，∵aλb与λab的夹角为锐角，∴aλbλab0 即λ|a|2λ|b|2λ21ab0，∴2λ9λ 3λ210，解得λ∴实数λ的范围是 【错解分析】 解题时忽视了aλb与aλb的夹角为0的情况，也就是aλbλab0既包括了 aλb与λab的夹角为锐角，也包括了aλb与λab的夹角为0，而aλb与λab的夹角为0不合题意． 【正确解答】 由已知ab|a||b|，|b|cos453． 又aλb与λab的夹角为锐角，∴aλbλa b0，且aλb≠μλab其中μ k,μ0由aλb λab0，得|a|2λ|b|2λ21ab0即3λ211λ 30，解得λ．由aλb≠μ λab，得μλ≠1,μ≠λ，即λ≠1，综上所述实数λ的取值范围是-∞，,1∪1，∞． 3．2020模拟题精选已知O为△ABC所在平面内一点且满足，则△AOB与△AOC的面积之比为 A．1 B. D．2 【错误答案】 ∴O在BC边上，且 ,又△AOB与△AOC高相等，∴△AOB与△AOC的面积之比为2，∴选D． 【错解分析】 缺乏联想能力，将常用结论记错是本题错误的原因，实际上只有O为△ABC的重心的情况下，才有，而本题无此已知条件． 【正确解答】 1如图6-3，在AB上取一点D，使 又由已知∴O为CD的中点，不妨设S△AOC S，则S△AODS∵两者等底同高∴ △AOB的面积与△AOC的面积之比为32，选B． 【变式探究】 1 △ABC内接于以O为圆心，1为半径的圆，且 1求 答案由已知得2，所以 2求△ABC的面积． 答案设∠AOBθ，∠AOC，∠BOC，由，得cosθ，sinθ，S△AOB ||||sinθ11 同理可求得cos-，sin，S△AOC ．cosγ-，sinr，S△BOC 由于θ为锐角，,为钝角，所以不可能在△AOB内部，故△AOB、△AOC、△BOC互不重叠∴S△ABCS△AOB S△AOCS△BOC． 2 已知向量a1，1，b1，0，c满足ac0，且|a||c|，bc0． 1求向量c；
答案设 m，n，由ac0，得mn0再由，|a||c|，得m2n22，联立，解得m1，n -1或m-l，n1，又∵b，c1，0m，nm0． ∴m1，n-1，c1，-1． 2若映射fx，yx’，y’xoyc，将x，y看作点的坐标，问是否存在直线l，使得l上任一点在映射f的作用下的点仍在直线l上，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由． 答案解设点A分所成比为λ，则λ，所以-λ-．即a-bλc-d，则1λa-b-λc0 1由已知条件得c3b-ma代人1得1λa-b-3λbmλa0，即1λmλa-13λb0 ∵不共线，a、b不共线 ∴1λmλ0，13λ0，解得λ-，m2． ∴A分所成的比为-，m2． 易错点2 平面向量与三角、数列 1.设函数fxab,其中a2cosx,1,bcosx,求x;2若函数y2sin2x的图像按向量cm,n|m|0，∴sin2αcosα，由于cosα0，得sina ，则cosα． 2设向量acos23，cos67．bcos68，cos22，c atbt∈R，求|c|的最小值． ∴|b|1，∴x2y21 2，联立1、2得x-1，y0或x0，y-1， ∴b-1，0或b0，-1． 2若t1，0且b⊥t，ccosA，2cos2，其中A、C是△ABC的内角，若三角形的三个内角依次成等差列，试求，|bc|的取值范围． 答案由题意得B，AC，b⊥t，t1，0，∴b0，-1，bCcosA，cosC，|bC|2cos2Acos2c1cos2Acos2C1 cos2Acos2π-A1cos2A，∵0∠A，∴∠2A，∴-1≤cos2A，∴|bc|2∈[ ]，∴|bc|∈[] 易错点3平面向量与平面解析几何 1．2020模拟题精选已知椭圆的中心在原点，离心率为，一个焦点F-m，0m是大于0的常数． 1求椭圆的方程；
2设Q是椭圆上的一点，且过点F、Q的直线l与y 轴交于点M，若，求直线l的斜率． 【错误答案】 第2问设Qxo，yo，直线J的方程为 ykxm，则点M0，km，由已知得F、Q、M三点共线，且 ，∴由于F-m，0， M0，km，由定比分点坐标公式，得 xQ 2．2020模拟题精选如图64，梯形ABCD的底边AB在y轴上，原点O为AB的中点，|AB|AC⊥BD，M为CD的中点． 1求点M的轨迹方程；
2过M作AB的垂线，垂足为N，若存在常数λo，使，且P点到A、B的距离和为定值，求点P的轨迹C的方程． 【错误答案】 第2问设Px，y，Mxo，yo，则N0，yo ∴x-xo-λox,y-yoλoyo-y，∴λo-1． 【错解分析】 对分析不够，匆忙设坐标进行坐标运算，实际上M、N、P三点共线，它们的纵坐标是相等的，导致后面求出λo-1是错误的． 【正确解答】 1解法1设Mx，y，则Cx，-1 即x，y-1x，y10，得x2y21，又x≠0， ∴M的轨迹方程是x2y21x≠0 痕将正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后点。都落在AD上，记为B；
折痕l与AB交于点E，使M满足关系式 1建立适当坐标系，求点M的轨迹方程；
2若曲线C是由点M的轨迹及其关于边AB对称的 曲线组成的，F是AB边上的一点，过点F的直线交曲线于P、Q两点，且 ，求实数λ的取值范围． 【错误答案】 第1问以AB的中点为坐标原点，以 AB所在的直线为y轴建立直角坐标系，则A0，1，B0，1，设E0，t，Bxo，1，则由 y-t，∴M的轨迹方程为xx0，y-t 【错解分析】 对轨迹方程的理解不深刻，xxo，y-t不是轨迹方程，究其原因还是题目的已知条件挖掘不够，本题中||||是一个很重要的已知条件． 【正确解答】 1解法1以AB所在的直线为y轴，AB的中点为坐标原点，建立如图6-6所示的直角坐标系，别 A0，1，B0，-1，设E0，t，则由已知有0≤t≤1，由及B在AD上，可解得B2，1由 得x，y-t0，-1-t2，1-t，即x2y-t，消去t得x2-4y0≤x≤2． 解法2以EB、EB分邻边作平行四边形．由于知四边形EBMB′，为菱形，且，∴动点M到定直线AD的距离等于M到定点B的距离，∴M的轨迹是以B为焦点，以AD为准线的抛物线的一部分轨迹方程为x2-4y0≤x≤2． 2由1结合已知条件知C的方程是x2-4y -2≤x≤2，由知F0，，设过F的直线的斜率为k，则方程为y，Px1，y1，Qx2，y2，由 得x1-λx2，联立直线方程和C得方程是x2 4kx-20，由-2≤x≤2知上述方程在[-2，2]内有两个解，由；
次函数的图像知 ，由x-λx2可得由韦达定理得a26，∴．e 【错解分析】与3，-1共线，不是相等，错解中，认为 3，-1，这是错误的，共线是比例相等． 【正确解答】 1前同错解，与a共线，得3y1y2x1x20，∴3x1x2-2cx1x2O ∴x1x2c，代入 2证明由1知a23b2，所以椭圆可化为 x2323b2设x，y，由已知得x，yλx1，y1μx2，y2， ∴Mx，y在椭圆上， ∴λx1μx223λy1μy223b2． 即λ22λμx1x22y1y2 3b2．① 由1知x2x2 ∴