第二节 数列的极限,一、 数列极限的定义 二、 收敛数列的性质 三、 收敛准则,引例,设有半径为 R 的圆 ,,用其内接正 n 边形的面积An 逼近圆面积 S .,—— 刘徽割圆术,(公元三世纪),概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,,正六边形的面积,正十二边形的面积,正 形的面积,,2、截丈问题：,“一尺之棰，日截其半，万世不竭”,,一、数列极限的定义,例如,注意：,1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取,,,,,,,,,,,,,2.数列是整标函数,随着n 趋于无穷, 数列的通项有以下两种变化趋势:,可以看到,,通项无限趋近于 一个确定的常数;,(2) 通项不趋近于任何确定的常数.,问题:,当 无限增大时, 是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?,问题:,“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.,通过上面演示实验的观察:,定义,,如果对于任意给定的正数,e,(,不论它多么,小,),,总存在正数,N,,,使得对于,时的一切,,,不等式,都成立,,,那末就称常数,a,是数列,的极限,,,或者称数列,收敛于,a,,,记为,,,或,如果数列没有极限,就说数列是发散的.,注意：,,,,,,,,,,几何解释:,,,,,,,,,其中,数列极限的定义未给出求极限的方法.,例1,证,所以,,注意：,例2,证,所以,,说明:常数列的极限等于同一常数.,小结:,用定义证数列极限存在时,关键是任意给定 寻找N,但不必要求最小的N.,例3,证,例4,证,例4-1,证,注意到,为了使,于是,a =,因此,,则当n N 时,有,只要使,二、收敛数列的性质,1、有界性,例如,,有界,无界,收敛数列的有界性,如果数列,收敛,那么数列,一定有界.,问题 对于无限多项,如何求 M ？,定理1 收敛的数列必定有界.,证,由定义,,注意：有界性是数列收敛的必要条件.,推论 无界数列必定发散.,关系：
收敛 有界,,注,极限的唯一性,2、唯一性,定理2 每个收敛的数列只有一个极限.,证,由定义,,故收敛数列极限唯一.,例5,证,由定义,,区间长度为1.,不可能同时位于长度为1的区间内.,3、保号性,定理3 若 =a,a＞0（或a＜0），则N＞0,当n＞N时, ＞0（或 ＜0）.,,证 由极限定义 ，对 ， ，当时， ，即 ，故当 时 ， . 类似可证 的情形.,,,,,,,,,,,,,,3、子数列的收敛性,注意：,例如，,,定理4 收敛数列的任一子数列也收敛．且极限相同．,证,证毕．,定义5 数列{xn}的项若满足x1≤x2≤…≤xn≤xn+1≤…,则称数列{xn}为单调增加数列; 若满足x1≥x2≥…≥xn≥xn+1≥…,则称数列{xn}为单调减少数列; 当上述不等式中等号都不成立时,则分别称{xn} 是严格单调增加和严格单调减少数列.,收敛准则 单调增加且有上界的数列必有极限;单调减少有下界的数列必有极限.,三、收敛准则,五、小结,数列:研究其变化规律;,数列极限:极限思想、精确定义、几何意义;,收敛数列的性质: 有界性、唯一性、子数列的收敛性.,练 习 题,