5．【上海市华东师范大学第二附属中学2019-2020学年高三上学期9月月考】设二元一次不等式组所表示的平面区域为，若函数（，且）的图像经过区域，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 作出二元一次不等式组所表示的平面区域, 如下图所示 求得,由图可知, 要满足条件必有,且图现在过两 点的图像之间,当图像过点时, ， 当图像过点时, ， 的取值范围是. 故答案为 6．【上海市上海师范大学附属中学2018-2019学年高三下学期质量检测】已知函数 ，则_________． 【答案】-2 【解析】 ，则。
7．【上海市进才中学2019-2020学年高三上学期期中】设正数，满足恒成立，则的最小值是______. 【答案】 【解析】 由已知， ，当且仅当时等号成立， ，. ，. 8．【上海市交通大学附属中学2019-2020学年高三上学期9月月考】已知数列和满足，，，，可证明数列与数列，一个是等差数列一个是等比数列，则数列的通项公式为______. 【答案】 【解析】 依题意， ①②并化简得，而，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列，③. ①-②并化简得，，所以数列是首项为，公差为的等差数列，④. ③④并化简得. 故答案为. 9．【上海市南洋模范中学2019-2020学年高三上学期9月月考】已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在上且，则的面积为__________． 【答案】 【解析】 抛物线的焦点为,准线与轴的交点为 设点坐标为，则有 ,解得 的面积为 10．【上海市复兴高级中学2019年5月高三模拟】把一颗骰子掷两次，第一次出现的点数记为，第二次出现的点数记为，则方程组无解的概率是________ 【答案】 【解析】 把一颗骰子掷两次，第一次出现的点数记为，第二次出现的点数记为，用表示基本事件，则所有的基本事件数为， 若方程组无解，则直线与直线平行，可得， 则事件“方程组无解”包含的基本事件有、、，共种， 因此，事件“方程组无解”的概率为，故答案为. 11．【上海市格致中学2018-2019学年高三下学期3月月考】数列中，，，等于的个位数，则________ 【答案】4 【解析】 ，所以. ，所以. ，所以. ，所以，，所以. ，所以. ，所以，，所以. ，所以. ，所以以此类推，数列从第项起，以，六个数为一个周期出现.故. 故填. 12．【上海市复旦大学附属中学2019-2020学年高三上学期开学摸底】已知函数两个零点差的绝对值为，若为质数，为正整数，则______. 【答案】9 【解析】 由题, 两个零点差的绝对值,化简得.因为为质数,且为正整数, 故, ,设则,则为正整数. 因为为质数,当时,,不满足为正整数.故必为奇数,也为奇数. 且,故或能被整除. 1.当被整除时,若,则不成立. 若则为偶数不满足. 当时,因为且,故. 此时不成立. 2.故必有能被整除. 当时, ,此时不成立. 故有,则,解得,即 故答案为9 二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13．【2019年上海市大同中学高三下学期5月三模】已知双曲线，过点作直线，使与有且仅有一个公共点，则满足上述条件的直线共有（ ） A．1条B．2条C．3条D．4条 【答案】D 【解析】 由双曲线方程可知其顶点坐标为 ①当直线斜率不存在时，直线方程为，满足与曲线只有一个公共点 ②当直线斜率存在时，设直线方程为，即 联立，整理可得 当，即时，此时方程有且仅有一个实数根 直线与曲线有且仅有一个公共点 当时，，解得 直线与曲线有且仅有一个公共点 综上所述满足条件的直线有条 故选 14．【2019年上海市格致中学高三上学期第一次检测】如图1，一个密闭圆柱体容器的底部镶嵌了同底的圆锥实心装饰块，容器内盛有升水．平放在地面,则水面正好过圆锥的顶点，若将容器倒置如图2，水面也恰过点 ．以下命题正确的是 ． A．圆锥的高等于圆柱高的；
B．圆锥的高等于圆柱高的；
C．将容器一条母线贴地，水面也恰过点；
D．将容器任意摆放，当水面静止时都过点． 【答案】C 【解析】 本题考查体积公式与空间想象能力，设圆锥的高为，圆柱的高为，则利用倒置前后水的体积不变这个性质知，化简得，均错，现在水的容积正好是圆柱内部空间的一半，因此把圆柱的母线贴地，则水面过点，但过点的平面不可能总是平分圆柱内部除去圆锥的那部分，故错误． 15．【上海市崇明区2019届高三5月三模】已知关于的方程，其中都是非零向量，且不共线，则该方程的解的情况是（ ） A．至少有一个解B．至多有一个解 C．至多有两个解D．可能有无数个解 【答案】B 【解析】 由平面向量基本定理可得 则方程可变为 即 不共线 可知方程组可能无解，也可能有一个解 方程至多有一个解 本题正确选项 16．【上海市格致中学2019-2020学年高三上学期期中】定义域是上的连续函数图像的两个端点为、，是图像上任意一点，过点作垂直于轴的直线交线段于点（点与点可以重合），我们称的最大值为该函数的“曲径”，下列定义域是上的函数中，曲径最小的是（ ） A．B． C．D． 【答案】D 【解析】 当y＝f（x）＝sinx时，端点A（1，），B（2，），直线AB的方程为y， 故||＝sinx，当x时，||的最大值为1，即该函数的“曲径”为1， 当y＝f（x）＝x2时，端点A（1，1），B（2，4），直线AB的方程为y＝3x﹣2， 故||＝3x﹣2﹣x2，当x时，||的最大值为，即该函数的“曲径”为， 当y＝f（x）时，端点A（1，2），B（2，1），直线AB的方程为y＝﹣x3， 故||＝﹣x3，当x时，||的最大值为3﹣2，即该函数的“曲径”为3﹣2， 当y＝f（x）＝x时，端点A（1，0），B（2，），直线AB的方程为yx， 故||＝xxx，当x时，||的最大值为，即该函数的“曲径”为， 故函数y＝x的曲径最小， 故选D． 三. 解答题（本大题共5题，共141414161876分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17．【2019年上海市华东师范大学第二附属中学高三下学期质量调研】如图,正三棱柱底面三角形的周长为6,侧棱长长为3. 1求正三棱柱的体积；
2求异面直线与AB所成角的大小. 【答案】（1）（2） 【解析】 （1）∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1底面三角形的周长为6，∴边长为2， 则AB边上的高为， ∴， 又侧棱长AA1长为3， 则正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V＝；
（2）以C为坐标原点，以过C且垂直于AB的直线为x轴，以过C且平行于AB的直线为y轴， 以CC1所在直线为z轴建立空间直角坐标系， 则C（0，0，0），A，B，A1， ， ∴cos＝＝． ∴异面直线A1C与AB所成角的大小为． 18．【上海市高桥中学2020届上学期高三开学考】已知函数. （1）判断的奇偶性；
（2）若在是增函数，求实数的范围. 【答案】（1）当时，为偶函数，当时，既不是奇函数，也不是偶函数,；
（2）. 【解析】 （1）当时，， 对任意，，为偶函数． 当时，， 取，得， ，函数既不是奇函数，也不是偶函数． （2）设， ， 要使函数在上为增函数，必须恒成立． ，即恒成立． 又，．的取值范围是． 19．【上海市普陀区2019-2020学年高三上学期11月调研测试】已知我国华为公司生产某款手机的年固定成本为万元，每生产万只还需另投入万元.设公司一年内共生产该款手机万只并全部销售完，每万只的销售收入为万元，且. Ⅰ写出年利润万元）关于年产量万只）的函数的解析式；
Ⅱ当年产量为多少万只时，公司在该款手机的生产中获得的利润最大并求出最大利润. 【答案】Ⅰ ；
（Ⅱ）见解析. 【解析】 （1）当时，， 当时，， 所以. （2）①当时，，所以；
②当时，， 由于， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最大值为， 综合①②可知，当时，取得最大值为. 20．【上海市华东师范大学第二附属中学2019-2020学年高三上学期9月月考】已知椭圆的方程为，圆与轴相切于点，与轴正半轴相交于、两点，且，如图1. （1）求圆的方程；
（2）如图1，过点的直线与椭圆相交于、两点，求证射线平分；
（3）如图2所示，点、是椭圆的两个顶点，且第三象限的动点在椭圆上，若直线与轴交于点，直线与轴交于点，试问四边形的面积是否为定值若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由. 【答案】（1）；
（2）证明见解析；
（3）是，. 【解析】 （1）依题意,设圆心， ，解得 所求的方程为; （2）代入圆方程，得或 若过点的直线斜率不存在,此时在轴上, ,射线平分, 若过点的直线斜率存在，设其方程为 联立，消去得, 设,, , , 射线平分, （3）设, 直线方程为,令 得，即, 直线方程为,令 得，即,, , 四边形的面积为定值. 21．【2019年上海市杨浦区高三上学期期末质量调研】记无穷数列的前项中最大值为，最小值为，令，. （1）若，请写出的值；
（2）求证“数列是等差数列”是“数列是等差数列”的充要条件；
（3）若对任意，有，且，请问是否存在，使得对于任意不小于的正整数，有成立请说明理由. 【答案】（1）5；
（2）证明见解析；
（3）存在，理由见解析. 【解析】 （1）（1），则， （2）数列是等差数列，设公差为 则，为定值，故数列是等差数列；
数列是等差数列，设公差为，则 和，和至少一组相等，不妨设只有 则故 故，为等差数列 同理可得只有和都相等的情况，故数列是等差数列 综上所述“数列是等差数列”是“数列是等差数列”的充要条件 （3）存在 假设不存在，则或，对任意，一定存在使得符号相反. 所以数列中存在，其中 且；
因为，即 注意到，有且仅有一个等号成立. 所以必有 所以，所以 因为，所以，所以 ；
；
累加可得；
故 这与矛盾，假设不成立 故存在，使得对于任意不小于的正整数，有成立