玉溪一中高2020届高二下学期第一次月考 文科数学试卷 一．选择题（共12小题,每小题5分,共60分） 1．已知全集，集合，，则（ ） A．B．C．D． 2．下列函数中与函数的奇偶性相同，且在上单调性也相同的是（ ） A．B．C．D． 3．在极坐标系中，极点关于直线对称的点的极坐标为（ ） A．B．C．D． 4．已知三棱锥的三视图如图所示，其中侧视图为直角三角形，俯视图为等腰直角三角形，则此三棱锥的体积等于（ ） A．B．C．D． 5．下列能使成立的所在区间是（ ） A．B．C．D． 6．如图是实现秦九韶算法的程序框图，若输入的，依次输入，则输出的s＝（ ） A．3B．10C．25D．56 7．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问数学考试的成绩.老师说你们四人中有两位优秀、两位良好，我现在给乙看甲、丙的成绩，给甲看丙的成绩，给丁看乙的成绩.看后乙对大家说我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则（ ） A．甲可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩 C．甲、丁可以知道对方的成绩D．甲、丁可以知道自己的成绩 8．已知直线与圆交于A，B两点，O是坐标原点，且，则实数a的值为（ ） A．B．或C．或D．或 9．已知是可导函数，如图，直线是曲线在处的切线，令，是的导函数，则（ ） A．B．C．D． 10．已知函数，其中为常数，且，若，则的最小正周期为（ ） A．B．C．D． 11．已知双曲线C，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N．若△OMN为直角三角形，则＝（ ） A．B．3C．D．6 12．设函数（e为自然对数的底数），则满足的的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二．填空题（共4小题,每小题5分,共20分） 13．若向量与向量共线，则 ． 14．不等式的解集为 ． 15．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，若该圆锥的顶点及底面圆周在球O的表面上，则球O的体积为 ． 16．设等比数列{an}满足a1a3＝10，a2a4＝5，则a1a2an的最大值为 ． 三．解答题（共6小题,共70分） 17．（本小题12分）已知函数． （1）若△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b，c，锐角A满足，求锐角的大小. （2）在（1）的条件下，若△ABC的外接圆半径为1，求△ABC的面积S的最大值． 18．（本小题12分）已知等差数列的公差，它的前n项和为，若，且成等比数列． （1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前n项和为，求证． 19．（本小题12分）如图所示，在直三棱柱中，为正三角形，，是的中点，是中点． （1）证明平面；
（2）若三棱锥的体积为，求该正三棱柱的底面边长． 20．已知函数（其中，为常数）在处取得极值． （1）当时，求的单调区间；
（2）当时，若在，上的最大值为1，求的值． 21．本小题12分已知椭圆C的离心率与双曲线的离心率互为倒数，且过点． （1）求椭圆C的方程；
（2）过作两条直线与圆相切且分别交椭圆于两点．求证直线的斜率为定值． 22．本小题10分将圆上每一点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍得到曲线． （1）写出的参数方程；
（2）已知，直线的参数方程为为参数），直线交曲线于，两点，求． 玉溪一中高2020届高二下学期第一次月考 文科参考答案与试题解析 一．选择题（共12小题） BACDB CDCBC BB 二．填空题（共4小题） 13． 14. 15. 16. 64 三．解答题（共6小题） 17．【解答】解（1）， ∵， 又A为锐角， ∴． （2）∵△ABC的外接圆半径为1， ∴由正弦定理得＝2R＝2，得a＝2sinA＝2sin＝2＝， 所以a2＝b2c2﹣2bccos， 即3＝b2c2﹣bc≥2bc﹣bc＝bc， 即bc≤3． 则三角形的面积S＝bcsinA≤3＝，（b＝c时取等号）． 故三角形面积最大值为． 18．【解答】解（1）S3＝12，即3a13d＝12，① a2，a6，a18成等比数列，可得a62＝a2a18， 即有（a15d）2＝（a1d）（a117d），② 由①②解得a1＝d＝2， 则an＝2n （2）证明＝＝2（﹣）， 则前n项和为Tn＝2（1﹣﹣﹣） ＝2（1﹣）， 由{Tn}为递增数列，可得Tn≥T1＝1，Tn＜2， 即有1≤Tn＜2． 19【解答】解（1）证明如图，连接 ， 是的中点， 又是的中点， ， 又平面， 平面， 平面 （2）解， 是的中点， 到平面的距离是到平面的距离的一半， 如图，作交于， 由正三棱柱的性质， 易证平面， 设底面正三角形边长为， 则三棱锥的高， ， 解得．故该正三棱柱的底面边长为． 20.【解答】解（1）因为所以， 因为函数在处取得极值， 则（1）， 当时，， 则， ，随的变化情况如下表 ， 1 0 0 极大值 极小值 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为，． （2）因为， 令，得或， 因为在取得极值，且，所以在上单调递增， 在，上单调递减，所以在区间，上的最大值为（1）， 由（1）知，（1）得， 则， 令（1），解得， 得． 21．【解答】解（1）双曲线﹣＝1的离心率为＝2， 可得椭圆C的离心率为，设椭圆的半焦距为c，所以a＝2c， 因为C过点P，所以＝1，又c2＝a2﹣b2， 解得a＝2，b＝，c＝1， 所以椭圆方程为＝1；
（2）①证明显然两直线l1，l2的斜率存在， 设为k1，k2，M（x1，y1），N（x2，y2）， 由于直线l1，l2与圆（x﹣1）2y2＝r2（0）相切，则有k1＝﹣k2， 直线l1的方程为y﹣＝k1（x﹣1）， 联立椭圆方程3x24y2＝12， 消去y，得x2（34k12）k1（12﹣8k1）x（3﹣2k1）2﹣12＝0， 因为P，M为直线与椭圆的交点，所以x11＝， 同理，当l2与椭圆相交时，x21＝， 所以x1﹣x2＝，而y1﹣y2＝k1（x1x2）﹣2k1＝﹣， 所以直线MN的斜率k＝＝；
日期2020/3/18 22．【解答】解（1）设圆上任意一点，曲线上任意一点， 则由题意得，代入方程，可得， 即曲线的参数方程为 （2）将直线的参数方程变为为参数）代入， 化简得，设方程的两个实根为，，，， 则．