不等式及其性质（基础）知识讲解 【学习目标】 1．了解不等式的意义，认识不等式和等式都可以用来刻画现实世界中的数量关系. 2. 知道不等式解集的概念并会在数轴上表示解集. 3. 理解不等式的三条基本性质，并会简单应用. 【要点梳理】 要点一、不等式的概念 一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式． 要点诠释 1不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大． 2五种不等号的读法及其意义 符号 读法 意义 “≠” 读作“不等于” 它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小 “＜” 读作“小于” 表示左边的量比右边的量小 “＞” 读作“大于” 表示左边的量比右边的量大 “≤” 读作“小于或等于” 即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量 “≥” 读作“大于或等于” 即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量 3有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；
有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立． 要点二、不等式的解及解集 1.不等式的解 能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解． 2.不等式的解集 对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 要点诠释 不等式的解 是具体的未知数的值，不是一个范围 不等式的解集 是一个集合，是一个范围． 其含义①解集中的每一个数值都能使不等式成立 ②能够使不等式成立的所有数值都在解集中 3.不等式的解集的表示方法 （1）用最简的不等式表示一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如不等式x-2≤6的解集为x≤8． 2用数轴表示不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解．如图所示 要点诠释 借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来，在应用数轴表示不等式的解集时，要注意两个“确定”一是确定“边界点”，二是确定方向．1确定“边界点”若边界点是不等式的解，则用实心圆点，若边界点不是不等式的解，则用空心圆圈；
2确定“方向”对边界点a而言，x＞a或x≥a向右画；
对边界点a而言，x＜a或x≤a向左画． 注意在表示a的点上画空心圆圈，表示不包括这一点． 【高清课堂一元一次不等式370042 不等式的基本性质】 要点三、不等式的基本性质 不等式的基本性质1不等式两边加或减同一个数或式子，不等号的方向不变． 用式子表示如果a＞b，那么ac＞bc． 不等式的基本性质2不等式两边都乘或除以同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc或． 不等式的基本性质3不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc或． 要点诠释 不等式的基本性质的掌握注意以下几点 1不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会． 2运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘或除以同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变． 【典型例题】 类型一、不等式的概念 1．用不等式表示 1x与-3的和是负数；
2x与5的和的28％不大于-6；
3m除以4的商加上3至多为5． 【思路点拨】列不等式时，应抓住“大于”、“不大于”、“不是”、“至多”、“非负数”等表示不等关系的关键性词语，进而根据这些关键词的内涵列出不等式． 【答案与解析】 解1x-3＜0；
228％x5≤-6；
3≤5． 【总结升华】在不等式及其应用的题目中，经常会出现一些表示不等关系的词语．正确理解这些关键词很重要．如若x是非负数，则x≥0；
若x是非正数，则x≤0；
若x大于y，则有x-y＞0；
若x小于y，则有x-y＜0等． 举一反三 【变式】（2015春陕西校级期末）下列式子①﹣2＜0；
②2x3y＜0；
③x3；
④xy中，是不等式的个数有（ ） A．1个B．2个C．3个D．4个 【答案】B． 类型二、不等式的解及解集 2.对于不等式4x7x-2＞8不是它的解的是 A．5 B．4 C．3 D．2 【思路点拨】根据不等式解的定义作答． 【答案】D 【解析】 解当x＝5时，4x7x-2＝41＞8， 当x＝4时，4x7x-2＝30＞8， 当x＝3时，4x7x-2＝19＞8， 当x＝2时，4x7x-2＝8． 故知x＝2不是原不等式的解． 【总结升华】不等式的解的定义与方程的解的定义是类似的，其判定方法是相同的． 3.不等式x＞1在数轴上表示正确的是 【思路点拨】根据不等式的解集在数轴上表示出来的方法画数轴即可． 【答案】C 【解析】 解∵不等式x＞1 ∴在数轴上表示为 故选C． 【总结升华】用数轴表示解集时，应注意两点一是“边界点”，如果边界点包含于解集，则用实心圆点；
二是“方向”，相对于边界而言，大于向右，小于向左，同时还应善于逆向思维，通过读数轴写出对应不等式的解集． 【高清课堂一元一次不等式370042 练习2】 举一反三 【变式】如图，在数轴上表示的解集对应的是 ． A．－2＜x＜4B.－2＜x≤4 C.－2≤x＜4 D.－2≤x≤4 【答案】B 类型三、不等式的性质 4. （2015浙江模拟）若x＞y，则下列式子中错误的是（ ） A．x﹣3＞y﹣3B．x3＞y3 C．﹣3x＞﹣3y D．＞ 【思路点拨】根据不等式的性质不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；
不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；
不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．可得答案． 【答案】C． 【解析】 解A、不等式的两边都减3，不等号的方向不变，故A正确；
B、不等式的两边都加3，不等号方向不变，故B正确；
C、不等式的两边都乘﹣3，不等号的方向改变，故C错误；
D、不等式的两边都除以3，不等号的方向改变，故D正确；
故选C． 【总结升华】主要考查了不等式的基本性质．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；
不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；
不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 举一反三 【变式】三角形中任意两边之差与第三边有怎样的关系 【答案】 解如图，设为任意一个三角形的三条边，则 移项可得 即三角形两边的差小于第三边．