2020考前冲刺数学第三部分 【高考预测】 1.对椭圆相关知识的考查 2.对双曲线相关知识的考查 3.对抛物线相关知识的考查 4.对直线与圆锥曲线相关知识的考查 5.对轨迹问题的考查 6.考察圆锥曲线中的定值与最值问题 7.椭圆 8.双曲线 9.抛物线 10.直线与圆锥曲线 11.轨迹问题 12.圆锥曲线中的定值与最值问题 【易错点点睛】 易错点1 对椭圆相关知识的考查 1．典型例题Ⅰ设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△FlPF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 【错误解答】 A 【错解分析】 没有很好地理解椭圆的定义，错误地把当作离心率． 【错误解答】 D 由题意得a5，b3，则c4而双曲线以椭圆1长轴的两个端点为焦点，则ac 4，b3 ∴k 【错解分析】 没有很好理解a、b、c的实际意义． 【正确解答】 C 设双曲线方程为1，则由题意知c5，4 则a220 b25，而a2 b ∴双曲线渐近线斜率为 4．2020精选模拟题设直线l与椭圆1相交于A、B两点，l又与双曲线x2-y21相交于C、D两点，C、D三等分线段AB，求直线l的方程 【错误解答】 设直线l的方程为ykxb 如图所示，l与椭圆，双曲线的交点为Ax1，y1、B x2，y2、Cx3，y3、Dx4，y4，依题意有3 由 所以x1x2- 由得1-k2x2-2bkx-b210 2若k1，则l与双曲线最多只有一个交点，不合题意，故k≠1 所以x3x4、由x3-x1x2-x4 x1x2x3x4-bk0或b 0 ①当k0时，由1得x1、2 由2得x3、4由3x4-x1即 故l的方程为y ②当b0时，由1得x1、2，由2得x3、4由3x4-x3即 综上所述直线l的方程为y 【错解分析】 用斜截式设直线方程时没有注意斜率是否存在，致使造成思维片面，漏解． k0时，由1得 由2得x3、4由x4-x3． 即故l的方程为 y ②当b0时，由1得x1、2 自2得x3、4x4-x3．即 故l的方程为y．再讨论l与x轴垂直时的情况． 设直线l的方程为xc，分别代入椭圆和双曲线方程可解得yl、2 y3、4 即 综上所述，直线l的方程是yx、y和x 解法二设l与椭圆、双曲线的交点为 Ax1，y1、Bx2，y2、Cx3，y3、Dx4，y4，则有 由i的两个式子相减及j的两个式子相减，得 因C、D是AB的三等分点，故CD的中点x0，y0与AB的中点重合，且 于是x0y0x2-x13 x4-x3． 因此 若x0y0≠0，则x2x1x4x3y4y3y2y1． 故l的方程为 ③当x00，y00时，这时l通过坐标原点且不与x轴垂直． 设l的方程为ykx，分别代入椭圆、双曲线方程得x1、2 故l的方程为y 综上所述，直线l的方程是y、y和x 5．2020精选模拟题设A、B是椭圆3x2y2λ上的两点，点N1，3是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点． 1确定A的取值范围，并求直线AB的方程；
Ⅱ试判断是否存在这样的A，使得A、B、C、D四点在同一个圆上并说明理由．此题不要求在答题卡上画图 【错解分析】 ①用“差比法”求斜率时kAB这地方很容易出错．②N1，3在椭圆内，λ3123212应用结论时也易混淆． 【正确解答】 1解法1依题意，可设直线AB的方程为yAx-13，代入3x2y2λ，整理得k23x2-2kk-3xk-32-λ0．① 设Ax1，y1、Bx2、y2，则x1，x2是方程①的两个不同的根， ∴△4[λk23-3k-32]0，② 且x1x2，由N1，3是线段AB的中点，得，∴Ak-3k23． 解得k-1，代入②得，λ12，即λ的取值范围是12，∞． 于是，直线AB的方程为y-3-x-1，即xy-40． 解法2设Ax1，y1、Bx2，y2，则有 x1-x2x1x2y1-y2y1y20 依题意，x1≠x2，∴kAB- ∵N1，3是AB的中点，∴x1x22，yly26，从而kAB-1． 又由N1，3在椭圆内，∴λ3123212， ∴λ的取值范围是12，∞． 直线AB的方程为y-3-x-1，即xy-40． Ⅱ解法1∵CD垂直平分AB，∴直线CD的方程为y-3 x-1，即x-y20，代入椭圆方程，整理得4x24x4 又设Cx3，y3，Dx4，y4，CD的中点为Mx0，y0，则x3， x4是方程③的两根，∴x3x4-1，且x0x3x4-，y0x02，即M-，．于是由弦长公式可得|CD| ④ 将直线AB的方程xy-40，代入椭圆方程得4x2-8x 16-λ0 ⑤ 同理可得|AB| ⑥ ∵当λ12时，,∴|AB|12， ∵CD垂直平分AB，∴直线CD方程为y-3x-1，代入椭圆方程，整理得4x24x4-λ0．③ 将直线AB的方程xy-40，代入椭圆方程，整理得 4x2-8x16-λ0．⑤ 解③和⑤式可得 xl，2 不妨设A1 计算可得,∴A在以CD为直径的圆上．又B为A关于CD的对称点，∴A、B、C、D四点共圆． 注也可用勾股定理证明AC⊥AD 【特别提醒】 1．重点掌握椭圆的定义和性质，加强直线与椭圆位置关系问题的研究． 2.注重思维的全面性，例如求椭圆方程时只考虑到焦点在，轴上的情形；
研究直线与椭圆位置关系时忽略了斜率不存在的情形 3．注重思想方法的训练，在分析直线与椭圆位置关系时要利用数形结合和设而不求法与弦长公式韦达定理联系去解决；
关于参数范围问题常用思路有判别式法，自身范围法等．求椭圆的方程常用方法有定义法，直接法，待定系数法，相关点法，参数法等． 考场思维调练 1 已知椭圆的中心O是坐标原点，A是它的左顶点，F是它的左焦点，l1，l2分别为左右准线，l1与x轴交于O，P、Q两点在椭圆上，且PM⊥l1于M,PN⊥l2于N，QF⊥AO，则下列比值中等于椭圆离心率的有 A.1个 B．2个 C.4个 D．5个 答案 C 解析对1，4的正确性容易判断；
对3，由于e，故3正确；
对5，可求得|QF| |BF|,,故5正确；
2显然不对，所选C． 2 椭圆有这样的光学性质从随圆的一个焦点出发的光线，经椭圆壁反射后，反射光线经过随圆的另一个焦点．今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴长为20，焦距为2c，静放在点A的小球 小球的半径不计，从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是 A．4a B．2a-c C.2ac D．以上答案均有可能 答案 D 解析1静放在点A的小球小球的半径不计从点A沿直线出发，经椭圆壁右顶点反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是2d-c，则选B；
2静放在点A的小球小球的半径不计从点A沿直线出发，经椭圆壁左顶点反弹后第一次回到点A时，小 球经过的路程是2ac，则选C；
3静放在点A的小球小球的半径不计从点A沿直线出发，经椭圆壁非左右顶点反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是4a，则选A. 于是三种情况均有可能，故选D. 令Va2t，V′-a2由V′O 当时t时，V′0；
当00的右焦点为F，右准线与一条渐近线交于点A，△OAF的面积为O为原点，则两条渐近线的夹角为 A．30 B．45 C．60 D．90 【错误解答】 B 【错解分析】 把两条渐近线的夹角看成渐近线的倾斜角． 即4e4-25e225≤0解不等式得≤e2≤5，所以e的取值范围是 【错解分析】 没有理解双曲线离心率的意义及自身存在的范围e1． 【正确解答】 解法直线J的方程为1，即 bxay-ab0． 由点到直线的距离公式，且a1，得到点1，0到直线l的距离d1 同理得到点（-1，0）到直线l的距离d2 sd1d2 由 解不等式，得 【特别提醒】 1．注意双曲线两个定义的理解及应用，在第二定义中，要强调e1，必须明确焦点与准线的对应性 2．由给定条件求出双曲线的方程，常用待定系数法，当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，应防止遗漏． 3．掌握参数a、b、c、e的关系，渐近线及其几何意义，并注意灵活运用． 【变式训练】 答案由知四边形PF1OM为平行四边形，又由 知OP平分∠F1OM, ∴PF1OM菱形，设半焦距为c，由c 知，即c e2-e-20, ∴e2e-1舍去 2若此双曲线过点N2，，求双曲线方程 答案∵e2∴c2a, ∴双曲线方程为代入， 有即所求双曲线方程为1. 3设2中双曲线的虚轴端点为B1，B2B1在y轴正半轴上，求B2作直线AB与双曲线交于A、B两点，求时，直线AB的方程． 答案依题意得B1（0，3），B2（0，-3）,设直线AB的方程为ykx-3,Ax1,y1,Bx2,y2 则由 ∵双曲线的渐近线为y,∴当k时，AB与双曲线只有一个交点， 即k≠.∵x1x2 y1y2kx1x2-6,y1y2k2x1x2-kx1x299 又（x1，y1 -3）,x2,y2 -3, ⊥ ,即k25, ∴k. 故所求直线AB的方程为yx-3或y-x-3. 3 设双曲线-y21的右顶点为A、P是双曲线上异于顶点的一个动点，从A引双曲线的两条渐近线的平行线与直线OPO为坐标原点分别交于Q和R两点． 1证明无论P