2.垂直问题的呈现有多种形式，处理重直问题最好的方法是应用向量的坐标形式转化，常规的思路是联立方程组消去 成y,得到一个二次方程，设交点，韦达定理 代人垂直的数量积坐标公式整理求解。
3.涉及弦长要注意圆的几何性质的应用。
三、知识拓展 以MN为直径的圆经过点P，则，可转化为 四、题型分析 一 圆与椭圆的结合点 1.1圆的几何性质与椭圆相联系 【例1】【2017届湖南师大附中高三上学期月考四】已知椭圆的中心在原点,离心率为,其右焦点是圆的圆心． （1）求椭圆的标准方程；
（2）如图,过椭圆上且位于轴左侧的一点作圆的两条切线,分别交轴于点、．试推断是否存在点,使若存在,求出点的坐标；
若不存在,请说明理由． 【分析】1由已知条件分别求出的值,而,代入求出椭圆的方程；
2假设存在点满足题意,设点（）,,,利用条件求出直线方程,根据圆心到直线的距离为,求出与点坐标之间的关系,同理求出与点坐标之间的关系,利用韦达定理求出的表达式,算出,求出点坐标. 【解析】（1）设椭圆方程,半焦距为, 因为椭圆的右焦点是圆的圆心,则, 因为椭圆的离心率为,则,即, 从而,故椭圆的方程为． （2）设点（）,,, 则直线的方程为,即, 因为圆心到直线的距离为1, 即, 即,即, 同理． 由此可知,,为方程的两个实根, 所以,, ． 因为点在椭圆上,则,即, 则, 令, 则, 因为,则,,即, 故存在点满足题设条件． 【点评】1处理直线与圆的弦长问题时多用几何法,即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形． 2圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径,从而建立关系解决问题． 【小试牛刀】已知椭圆的离心率为,其左顶点在圆上. （Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若点为椭圆上不同于点的点,直线与圆的另一个交点为,是否存在点,使得若存在,求出点的坐标；
若不存在,说明理由. 【答案】（I）；
（II）不存在,理由见解析. 【解析】（I）因为椭圆的左顶点在圆上,令,得,所以.又离心率为,所以,所以,所以. 所以的方程为. （II）设点,,设直线的方程为, 与椭圆方程联立得, 化简得到,因为-4为方程的一个根, 所以,所以 所以 因为圆心到直线的距离为, 所以. 因为, 代入得到, 显然,所以不存在直线,使得. 1.2 利用椭圆的性质判断直线与圆的位置关系 【例2】已知椭圆. （1）求椭圆的离心率；
（2）设为原点,若点在椭圆上,点在直线上,且,试判断直线与圆的位置关系,并证明你的结论. 【分析】（1）把椭圆化为标准方程,确定,,利用求得离心率；
（2）设点,,其中,由,即,用、表示,当或分别根据点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离,与圆的半径比较,从而判断直线与圆的位置关系. 【解析】（1）由题意椭圆的标准方程为,所以,,从而, 所以. （2）直线与圆相切,证明如下设点,,其中, 因为,所以,即,解得, 当时,,代入椭圆的方程得,此时直线与圆相切. 当时,直线的方程为,即, 圆心到直线的距离为,又,, 故.故此直线与圆相切. 【小试牛刀】已知椭圆过点,且离心率． 1求椭圆的方程；
2设直线交椭圆于,两点,判断点与以线段为直径的圆的位置关系,并说明理由． 【解析】解法一（1）由已知得,解得,所以椭圆的方程为． （2）设点,,的中点为．由, 得,所以,, 从而, 所以, , 故 ,所以． 故点在以为直径的圆外． 解法二（1）同解法一． （2）设点,,则,． 由,得, 所以,, 从而 , 所以．又,不共线,所以为锐角． 故点在以为直径的圆外． 二 圆与双曲线的结合点 2.1 利用圆的性质解决双曲线的相关问题 由于双曲线具有渐近线,故渐近线与圆的位置关系便成为命题的常考点.圆本身所具有的几何性质在探索等量关系也经常考查,进而求解双曲线的几何性质,如离心率的求解. 【例3】【黑龙江省齐齐哈尔市2019届高三第一次模拟】已知半圆，、分别为半圆与轴的左、右交点，直线过点且与轴垂直，点在直线上，纵坐标为，若在半圆上存在点使，则的取值范围是（ ） A．B． C．D． 【答案】A 【分析】根据题意，设PQ与x轴交于点T，分析可得在Rt△PBT中，|BT||PB||t|，分p在x轴上方、下方和x轴上三种情况讨论，分析|BT|的最值，即可得t的范围，综合可得答案． 【解析】根据题意，设PQ与x轴交于点T，则|PB|＝|t|， 由于BP与x轴垂直，且∠BPQ，则在Rt△PBT中， |BT||PB||t|， 当P在x轴上方时，PT与半圆有公共点Q，PT与半圆相切时，|BT|有最大值3，此时t有最大值， 当P在x轴下方时，当Q与A重合时，|BT|有最大值2，|t|有最大值，则t取得最小值， t＝0时，P与B重合，不符合题意， 则t的取值范围为[，0）]；
故选A． 【小试牛刀】【福建省厦门市2019届高中毕业班第一次（3月质量检查】已知双曲线的一个焦点为，点是的一条渐近线上关于原点对称的两点，以为直径的圆过且交的左支于两点，若，的面积为8，则的渐近线方程为（ ） A．B． C．D． 【答案】B 【解析】设双曲线的另一个焦点为，由双曲线的对称性，四边形是矩形，所以，即，由，得，所以，所以，所以，，所以，的渐近线方程为.故选B 2.2 圆的切线与双曲线相联系 【例4】已知双曲线的左右焦点分别为,为双曲线的中心,是双曲线右支上的点, 的内切圆的圆心为,且圆与轴相切于点,过作直线的垂线,垂足为,若为双曲 线的离心率,则 A. B. C. D. 与关系不确定 【答案】C 【解析】设内切圆在上的切点为,上的切点为,上的切点为,的坐标为, ∴,即,延长交于,∵是角平分线和垂线,∴是的中点,是的中点,是中位线,,∴,∴. 【小试牛刀】已知点、为双曲线的左、右焦点,过作垂直于轴的直线,在轴上方交双曲线于点,且．圆的方程是． （1）求双曲线的方程；
（2）过双曲线上任意一点作该双曲线两条渐近线的垂线,垂足分别为、,求的值；
（3）过圆上任意一点作圆的切线交双曲线于、两点,中点为,求证． 【解析】（1）设的坐标分别为 因为点在双曲线上,所以,即,所以 在中,,,所以 由双曲线的定义可知 故双曲线的方程为 （2）由条件可知两条渐近线分别为 设双曲线上的点,设两渐近线的夹角为,则 则点到两条渐近线的距离分别为 因为在双曲线上,所以 又, 所以 （3）由题意,即证. 设,切线的方程为 ①当时,切线的方程代入双曲线中,化简得 所以 又 所以 ②当时,易知上述结论也成立． 所以 综上,,所以． 三 圆与抛物线的结合点 3.1圆的性质与抛物线相结合 【例5】一个酒杯的轴截面是开口向上的抛物线的一段弧,它的口宽是的4 ,杯深20,在杯内放一玻璃球,当玻璃球的半径r最大取时,才能使玻璃球触及杯底． 【答案】1 【解析】建立如图所示的直角坐标系,酒杯所在抛物线的方程设为,因为过点,所以,即.玻璃球触及杯底,就是小球的截面圆与抛物线有且仅有一个交点,即原点.由与消去得或因为有且仅有一个交点,即原点,所以即半径r最大取1. 【小试牛刀】【广东省2019届天河区普通高中毕业班综合测试（二】已知抛物线C的焦点为F，准线l与x轴的交点为A，M是抛物线C上的点，且轴，若以AF为直径的圆截直线AM所得的弦长为2，则 A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【解析】把代入可得，不妨设M在第一象限， 则， 又，直线AM的方程为，即， 原点O到直线AP的距离， 以AF为直径的圆截直线AM所得的弦长为2， ，解得． 故选B． 3.2 抛物线的性质与圆的相联系 【例6】已知椭圆离心率为,焦距为,抛物线的焦点是椭圆的顶点. （Ⅰ）求与的标准方程；
（Ⅱ）设过点的直线交于两点,若的右顶点在以为直径的圆内,求直线的斜率的取值范围. 【分析】（Ⅰ）椭圆的焦距为,,得椭圆的标准方程,得到抛物线焦点,可得抛物线方程；
（Ⅱ）联立直线与抛物线的方程结合韦达定理得,,在以为直径的圆内,得结果. 【解析】（Ⅰ）设椭圆的焦距为,依题意有,,解得,,故椭圆的标准方程为,又抛物线开口向上,故是椭圆的上顶点,,,故抛物线的标准方程为. （Ⅱ）由题意可设直线的方程为,设点,,联立得,由韦达定理得,. 在以为直径的圆内 . 【小试牛刀】已知抛物线C的焦点为F,直线与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且. （I）求C的方程；
（II）过F的直线与C相交于A,B两点,若AB的垂直平分线与C相较于M,N两点,且A,M,B,N四点在同一圆上,求的方程. 【解析】（I）设,代入,得．由题设得,解得（舍去）或,∴C的方程为；
（II）由题设知与坐标轴不垂直,故可设的方程为,代入得．设则 ．故的中点为．又的斜率为的方程为．将上式代入,并整理得．设则．故的中点为． 由于垂直平分线,故四点在同一圆上等价于,从而即,化简得,解得或．所求直线的方程为或． 四、迁移运用 1．【江西省南昌市2019届高三第一次模拟】过双曲线的左焦点作圆的切线交双曲线的右支于点，且切点为，已知为坐标原点，为线段的中点（点在切点的右侧），若的周长为，则双曲线的渐近线的方程为 A．B．C．D． 【答案】B 【解析】 解连OT，则OT⊥F1T， 在直角三角形OTF1中，|F1T|b． 连PF2，M为线段F1P的中点，O为坐标原点 ∴OMPF2， ∴|MO|﹣|MT|PF2﹣（ PF1﹣F1T）（PF2﹣PF1）b b﹣a． 又|MO||MT||TO|，即|MO||MT|3a 故|MO|, |MT|, 由勾股定理可得，即 ∴渐近线方程为 故选B 2．【山东省淄博市2018-2019学年度高三3月模拟】已知直线与双曲线交于两点，以为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点，若的面积为，则双曲线的离心率为 A． B． C．2 D． 【答案】D 【解析】由题意可得图像如下图所示为双曲线的左焦点 为圆的直径 根据双曲线、圆的对称性可知四边形为矩形 又，可得 本题正确选项 3．【河南省濮阳市2019届高三下学期摸底】双曲线的两顶点为，，虚轴两端点为，，两焦点为，，若以为直径的圆内切于菱形，则双曲线的离心率是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 由题意可得，，，， ，， 且，菱形的边长为， 由以为直径的圆内切于菱形，切点分别为A，B，C，D． 由面积相等，可得， 即为， 即有， 由，可得， 解得， 可得，或舍去 故选C． 4．【广东省潮州市2019届高三上学期期末】已知双曲线C的左、右焦点分别为、，且双曲线C与圆在第一象限相交