2.1.2 直线的方程三一般式 【课时目标】 1．掌握直线方程的一般式．2．根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式之间的关系． 1．关于x，y的二元一次方程____________其中A，B____________叫做直线的一般式方程，简称一般式． 2．比较直线方程的五种形式 形式 方程 局限 各常数的 几何意义 点斜式 不能表示k不存在的直线 x0，y0是直线上一定点，k是斜率 斜截式 不能表示k不存在的直线 k是斜率，b是y轴上的截距 两点式 x1≠x2，y1≠y2 x1，y1、x2，y2是直线上两个定点 截距式 不能表示与坐标轴平行及过原点的直线 a是x轴上的非零截距，b是y轴上的非零截距 一般式 无 当B≠0时，－是斜率，－是y轴上的截距 一、填空题 1．经过点0，－1，倾斜角为60的直线的一般式方程为____________． 2．直线2m2－5m＋2x－m2－4y＋5m＝0的倾斜角为45，则m的值为________． 3．若a＋b＝1，则直线ax＋by＋1＝0过定点________________________________． 4．直线l12x＋y＋5＝0的倾斜角为α1，直线l23x＋y＋5＝0的倾斜角为α2；
直线l32x－y＋5＝0的倾斜角为α3，直线l43x－y＋5＝0的倾斜角为α4，则将α1、α2、α3、α4从小到大排列排序为____________． 5．直线l1ax－y＋b＝0，l2bx－y＋a＝0a≠0，b≠0，a≠b在同一坐标系中的图形大致是______填序号． 6．直线x＋2y＋6＝0化为斜截式为________，化为截距式为________． 7．已知方程2m2＋m－3x＋m2－my－4m＋1＝0表示直线，则m的取值范围是________． 8．已知直线kx＋y＋2＝0和以M－2,1，N3,2为端点的线段相交，则实数k的取值范围为________． 9．已知两直线a1x＋b1y＋7＝0，a2x＋b2y＋7＝0，都经过点3,5，则经过点a1，b1，a2，b2的直线的方程是______________． 二、解答题 10．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程 1斜率为，且经过点A5,3；
2过点B－3,0，且垂直于x轴；
3斜率为4，在y轴上的截距为－2；
4在y轴上的截距为3，且平行于x轴；
5经过C－1,5，D2，－1两点；
6在x轴，y轴上截距分别是－3，－1． 11．设直线l的方程为m2－2m－3x＋2m2＋m－1y＝2m－6，根据下列条件分别确定m的值． 1l在x轴上的截距是－3；
2l的斜率是－1． 能力提升 12．已知直线l5ax－5y－a＋3＝0． 1求证不论a为何值，直线l总经过第一象限；
2为使直线不经过第二象限，求a的取值范围． 13．对直线l上任一点x，y，点4x＋2y，x＋3y仍在此直线上，求直线方程． 1．在求解直线的方程时，要由问题的条件、结论，灵活地选用公式，使问题的解答变得简捷． 2．直线方程的各种形式之间存在着内在的联系，它是直线在不同条件下的不同的表现形式，要掌握好各种形式的适用范围和它们之间的互化，如把一般式Ax＋By＋C＝0化为截距式有两种方法一是令x＝0，y＝0，求得直线在y轴上的截距B和在x轴上的截距A；
二是移常项，得Ax＋By＝－C，两边除以－CC≠0，再整理即可． 2．1．2 直线的方程三一般式 知识梳理 1．Ax＋By＋C＝0 不同时为0 2． 形式 方程 局限 各常数的 几何意义 点斜式 y－y0＝kx－x0 不能表示k不存在的直线 x0，y0是直线上一定点，k是斜率 斜截式 y＝kx＋b 不能表示k不存在的直线 k是斜率，b是y轴上的截距 两点式 ＝ x1≠x2，y1≠y2 x1，y1、x2，y2是直线上两个定点 截距式 ＋＝1 不能表示与坐标轴平行及过原点的直线 a是x轴上的非零截距，b是y轴上的非零截距 一般式 Ax＋By＋C＝0 无 当B≠0时，－是斜率，－是y轴上的截距 作业设计 1．x－y－1＝0 2．3 解析 由已知得m2－4≠0，且＝1， 解得m＝3或m＝2舍去． 3．－1，－1 4．α3α4α2α1 5．③ 解析 将l1与l2的方程化为斜截式得 y＝ax＋b，y＝bx＋a， 根据斜率和截距的符号可得③． 6．y＝－x－3 ＋＝1． 7．m≠1 解析 由题意知，2m2＋m－3与m2－m不能同时为0，由2m2＋m－3≠0得m≠1 且m≠－；
由m2－m≠0，得m≠0且m≠1，故m≠1． 8．k≤－或k≥ 解析 如图，直线kx＋y＋2＝0过定点P0，－2，由kPM＝＝－，kPN＝＝，可得直线kx＋y＋2＝0若与线段MN相交，则有－k≥或－k≤－， 即k≤－或k≥． 9．3x＋5y＋7＝0 解析 依题意得3a1＋5b1＋7＝0，且3a2＋5b2＋7＝0，∴a1，b1，a2，b2均在直线 3x＋5y＋7＝0上，故过这两点的直线方程为3x＋5y＋7＝0． 10．解 1由点斜式方程得y－3＝x－5， 即x－y＋3－5＝0． 2x＝－3，即x＋3＝0． 3y＝4x－2，即4x－y－2＝0． 4y＝3，即y－3＝0． 5由两点式方程得＝， 即2x＋y－3＝0． 6由截距式方程得＋＝1， 即x＋3y＋3＝0． 11．解 1由题意可得 由①可得m≠－1，m≠3． 由②得m＝3或m＝－．∴m＝－． 2由题意得 由③得m≠－1，m≠， 由④得m＝－1或m＝－2． ∴m＝－2． 12． 解 1将直线l的方程整理为 y－＝ax－， ∴l的斜率为a， 且过定点A，． 而点A，在第一象限，故l过第一象限． ∴不论a为何值，直线l总经过第一象限． 2直线OA的斜率为k＝＝3． ∵l不经过第二象限，∴a≥3． 13．解 设直线方程Ax＋By＋C＝0， ∴A4x＋2y＋Bx＋3y＋C＝0， 整理得4A＋Bx＋2A＋3By＋C＝0， ∴上式也是l的方程，当C≠0时， 则有∴A＝B＝0， 此时直线不存在；
当C＝0时，两方程表示的直线均过原点，应有斜率相等， 故－＝－， ∴A＝B或B＝－2A， 所以所求直线方程为x＋y＝0或x－2y＝0．