【详解】因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“，”的否定是“，”． 故答案为，． 【点睛】命题的否定只要把命题中的结论改为相反的结论，同时题中的存在量词与相应的全称量词互换即得，注意与否命题的区别. 5.已知向量，且，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】 由向量平行的坐标运算列出关于的方程，解之即得. 【详解】∵；
；
解得． 故答案为2． 【点睛】本题考查向量平行的坐标运算，即若，则. 6.已知角的终边经过点，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】 由三角函数的定义求得，再用诱导公式计算. 【详解】角的终边经过点，则， 故答案为． 【点睛】本题考查三角函数的定义与诱导公式，设角终边过点，则（），. 7.函数f（x）lnxx的图象在x1处的切线方程为___． 【答案】2x﹣y﹣10 【解析】 【分析】 求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，即可得到所求切线的方程. 【详解】函数f（x）lnxx的导数为， 可得函数f（x）的图象在x1处的切线斜率为k2， 切点为（1，1）， 可得切线的方程为y﹣12（x﹣1）；
即2x﹣y﹣10． 故答案为2x﹣y﹣10． 【点睛】本题考查利用导数求切线的方程，是基本题． 8.奇函数是R上的增函数，，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】 由奇函数的定义可得，然后利用增函数的性质解得函数不等式. 【详解】根据题意，为R上的奇函数，且，则，且 又由是R上的增函数，若，则有， 则有， 解可得， 即不等式的解集为；
故答案为． 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性与单调性解函数不等式，解题时可利用奇偶性把不等式化为的形式，然后利用单调性得出（或），再解之可得. 9.在平面直角坐标系xOy中，点P是椭圆C上一点，F为椭圆C的右焦点，直线FP与圆O相切于点Q，若Q恰为线段FP的中点，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】 引入右焦点，由中位线定理得，从而得，结合椭圆的定义和勾股定理可求得. 【详解】 取椭圆的左焦点，连接， 直线FP与圆O相切于点Q， 若Q恰为线段FP的中点， 可得，，由椭圆的定义可得， 在直角三角形中，可得， 即，可得， 可得，故答案为3． 【点睛】本题主要考查椭圆的定义，属于中等题.在问题中涉及到椭圆上的点到一个焦点的距离时，经常利用椭圆的定义与它到另一焦点的距离联系在一起，或转化为点互相应准线的距离. 10.已知函数的部分图象如图所示，其中，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】 由可求得，注意到，其中2是函数的最大值，由此可得，最后代入计算得. 【详解】函数的部分图象如图所示，，． ，，函数，， 故答案为． 【点睛】本题考查函数的图象与性质，已知函数的图象时常常与“五点法”联系，即利用“五点”与函数的周期，最值等建立关系. 11.已知a为正常数，，若，，，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】 “若，，”，说明函数在定义域内不是单调函数，因此结合单调函数的性质可得出关于的不等式关系. 【详解】a为正常数，， 若，，， 可得在R上不单调，当时，递增， 由可得恒成立， 则时递增，但， 解得，故答案为． 【点睛】本题考查分段函数的单调性，解题时除要考虑分段函数中两段的单调性外，一般还要考虑两段的最值之间的大小关系，从而才能把问题考虑全面，得出正确结论. 12.已知，函数，若存在极小值点m，且，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】 利用导数的知识求得极小值点，再由求得，再计算即可． 【详解】， 令，解得或， 令，解得， 故在递增，在递减，在递增， 的极小值点， ． 由，得， ，解得． ． 故答案为． 【点睛】本题考查导数与函数的极值，求极值的一般步骤是一求导函数，二解方程，三确定导函数的符号，最终可得结论．当在左侧为负，右侧为正时，是极小值点，当在左侧为正，右侧为负时，是极大值点． 13.已知圆O，定点，过A点的直线l与圆O相交于B、C两点，B、C两点均在x轴上方，如图，若OC平分，则直线l的斜率为______． 【答案】 【解析】 【分析】 本题关键是求出交点的坐标，由三角形内角平分线定理可得，从而有，于是可设，由向量坐标运算求得点坐标，再把两点坐标代入圆的方程可求得点坐标，从而得直线斜率． 【详解】由OC平分知，， 设点，点， 则， 即， 由向量相等解得，；
又， ， ，；
由解得，， 点；
直线l的斜率为． 故答案为． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系问题，解题时要抓住事物的本质，要求直线斜率，就是要求得直线上两点的坐标，已知A点坐标，因此还要求得两点之一坐标，可利用这两点在圆上，因此想法其中一点的坐标用另一点表示出来的一，代入圆方程联立方程组后可解得．本题还考查学生的计算能力，属于中等题． 14.如图，在ABC中，，，CD与BE交于点P，，，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】 选取向量为基底，把用基底表示出来，然后计算它们的数量积即可．注意在求时，可设，再利用三点共线的条件求得，从而表示出． 【详解】设． ． ，P，C三点共线，，解得． ，，． 解得 故答案为． 【点睛】本题考查平面向量的数量积运算，解题关键是选取两个不共线向量为基底，其他向量都用基底表示并运算． 二、解答题（本大题共6小题，共80.0分） 15.已知，，，若． 求的值；
求的值． 【答案】（1）．（2） 【解析】 【分析】 （1）由向量的数量积的坐标运算得，结合平方公式及的范围可求得的值；
（2）由二倍角公式求得，再结合两角差的余弦公式求值． 【详解】，，，，， 若，，，． 由可得，， ． 【点睛】本题考查向量数量积的坐标运算，考查同角间的三角函数关系式、二倍角公式、两角差的余弦公式，解题时只要根据已知及求值式确定先用哪个公式即可．本题属于基础题． 16.已知函数，定义域为． 证明；
若在上的值域为，求实数a的取值范围． 【答案】（1）见解析（2） 【解析】 【分析】 （1）先证明函数在上是增函数，再由基本不等式得，从而由单调性得证结论；
（2）由函数单调性知，从而是方程的两个不等正根，由二次方程根的分布结论可得． 【详解】证明任取，，且，则 ． 函数在上是增函数． ， ． 由知在上单调递增， ， ，n是，即的两个不等的正根， 在上有两个不等的根， ，解得， 实数a的取值范围是． 【点睛】本题第一个考点是证明函数不等式，函数不等式的证明一常用方法之一就是利用函数的单调性，这是我们必须掌握的函数的性质与方法；
第二个考点是函数的值域问题，实质是转化为二次方程根的分布问题，本题可用韦达定理及判别式得出相应条件． 17.已知圆C，直线与交于点M，直线与圆C交于A、B两点，直线与圆C交于D，E两点，若M为弦AB的中点，且． 当时，求圆C的方程；
当时，求圆C的方程． 【答案】（1） （2）圆C的方程为 或． 【解析】 【分析】 （1），则M就是圆心C，联立两直线方程可求得M点坐标，从而得圆方程；
（2）由可得，取中点F，由得M是FD中点，即，由圆中的弦长公式求得弦长，在中由勾股定理可求得． 【详解】联立，，解得， 当时，点M既是AB的中点，又是DE的中点， 所以点M与圆心C重合，即，， 所以圆C的方程为；
因为M为AB的中点，所以，所以，所以， 取DE的中点F，因为，可得， 因为，， 由， 因为， 所以， 即有， 解得， 可得， 即有圆C的方程为 或． 【点睛】本题考查求圆的标准方程，关键是求出圆心坐标．本题中注意圆的弦的性质，一是弦中点与圆心的连线与弦所在直线垂直，二是弦长可利用勾股定理求解，即求出圆心到弦所在直线距离，则弦长为（是圆半径）． 18.某亲子公园拟建议广告牌，将边长为米的正方形ABCD和边长为1米的正方形AEFG在A点处焊接，AM、AN、GM、DN均用加强钢管支撑，其中支撑钢管GM、DN垂直于地面于M点和N点，且GM、DN、MN长度相等不计焊接点大小 若时，求焊接点A离地面距离；
若记，求加强钢管AN最长为多少 【答案】（1）米；
（2）加强钢管AN最长为3米． 【解析】 【分析】 （1），可用勾股定理求得，再由直角三角形面积公式求得斜边上的高，从而可得A点到地面的距离；
（2）在中用余弦定理表示出，设，由正弦定理用表示出，在中用余弦定理表示出，并代入，最终把表示为的函数，最后由三角函数的性质可得最值． 【详解】当时， 求焊接点A离GD的距离， 所以点A离地面的距离为米；
在中，由于， 利用余弦定理， 所以， 设， 在中，利用余弦定理， 所以， 在中，由正弦定理得， 所以， 代入式得，其中；
所以当时，最大，最大值为；
所以加强钢管AN最长为3米． 【点睛】本题考查解三角形的实际应用，解题关键是建立函数关系式，为此必须确定选用哪个公式计算，正弦定理与余弦定理是解题的关键与基础． 19.已知椭圆C的左右顶点为A、B，右焦点为F，一条准线方程是，短轴一端点与两焦点构成等边三角形，点P、Q为椭圆C上异于A、B的两点，点R为PQ的中点 求椭圆C的标准方程；
直线PB交直线于点M，记直线PA的斜率为，直线FM的斜率为，求证为定值；
若，求直线AR的斜率的取值范围． 【答案】（1）（2）见解析（3） 【解析】 【分析】 （1）由准线方程得，由等边三角形得，联立解得，结合求得，得椭圆标准方程；
（2）设直线PB方程为，与椭圆方程联立可解得交点P的坐标，同时求得点M，F的坐标，计算即得；
（3）由，可得，即，设AP的方程为，代入椭圆方程求得P点坐标，把换成，可得Q点坐标，计算直线斜率表示为的函数， 可结合换元法和基本不等式求得此函数的函数值的范围． 【详解】椭圆的一条准线方程是，可得， 短轴一端点与两焦点构成等边三角形，可得， 解得，，， 即有椭圆方程为；
证明由，， 设直线PB的方程为， 联立椭圆方程， 可得， 解得或， 即有， ，， 则， 即为定值；
由，可得，即， 设AP的方程为，代入椭圆方程， 可得， 解得或， 即有， 将t换为可得， 则R的坐标为， 即有直线AR的斜率 ， 可令，则， 则， 当时，， 当且仅当时上式取得等号， 同样当时，， 时
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江苏省泰州市姜堰中学2019届高三（上）期中数学试卷 一、填空题（本大题共14小题，共70.0分） 1. 已知集合A＝{－1,1,2,4}，B＝{－1,0,2}，则A∩B＝________. 【答案】 【解析】 根据交集的定义易知A、B两个集合共有的元素是-1,2，所以答案为 【此处有视频，请去附件查看】 2.已知复数其中i是虚数单位，则复数z的实部为______． 【答案】1 【解析】 【分析】 根据复数除法法则计算. 【详解】， 故答案为1． 【点睛】本题考查复数的运算，掌握复数的运算法则是解题关键，本题是基础题. 3.________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据对数的运算公式得到结果. 【详解】根据题干得到 故答案为. 【点睛】本题考查了对数的运算公式的应用，进行对数运算时通常是将对数化为同底的对数，再进行加减运算即可，较为基础. 4.命题“，”的否定是______． 【答案】， 【解析】 【分析】 把结论中“＞”改为“≤”，同时把“存在”改为“对任意”。