6-3等比数列 基础巩固强化 1.2012哈尔滨质检已知等比数列{an}中，a5，a95为方程x2＋10 x＋16＝0的两根，则a20a50a80的值为 A．256 B．256 C．64 D．64 [答案] D [解析] 由韦达定理可得a5a95＝16，由等比中项可得a5a95＝a502＝16，故a50＝4，则a20a50a80＝a503＝43＝64. 2．2012沈阳质检已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则该数列的通项an＝ A．4n－1 B．4n C．4n D．4n－1 [答案] D [解析] 据前三项可得a＋12＝a－1a＋4，解得a＝5，故等比数列的首项为4，q＝＝， 故an＝4n－1. 3．文2011青岛一模在等比数列{an}中，若a2＝9，a5＝243，则数列{an}的前4项和为 A．81 B．120 C．168 D．192 [答案] B [解析] 设等比数列{an}的公比为q，根据题意及等比数列的性质可知＝27＝q3，所以q＝3，所以a1＝＝3，所以S4＝＝120. 理2011吉林长春模拟已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列{}的前5项和为 A. B. C. D. [答案] B [解析] ∵9S3＝S6，∴8a1＋a2＋a3＝a4＋a5＋a6， ∴8＝q3，∴q＝2， ∴an＝2n－1，∴＝n－1， ∴{}的前5项和为＝，故选B. 4．2011江西抚州市高三模拟等比数列{an}的前n项和为Sn，若S1、S3、S2成等差数列，则{an}的公比等于 A．1 B. C．－ D. [答案] C [解析] 2S3＝S1＋S2，即2a1＋a1q＋a1q2＝a1＋a1＋a1q， 得q＝－，故选C. 5．文2011哈尔滨九中模拟已知数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，则数列{an}的奇数项的前n项和为 A. B. C. D. [答案] C [解析] 当n＝1时，a1＝S1＝1， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1. ∴an＝2n－1n∈N*， 则数列{an}的奇数项的前n项和为＝，故选C. 理2011泉州市质检等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＋a2＋a3＋a4＝1，a5＋a6＋a7＋a8＝2，Sn＝15，则项数n为 A．12 B．14 C．15 D．16 [答案] D [解析] ＝q4＝2，由a1＋a2＋a3＋a4＝1. 得a11＋q＋q2＋q3＝1， 即a1＝1，∴a1＝q－1， 又Sn＝15，即＝15， ∴qn＝16， 又∵q4＝2，∴n＝16.故选D. 6．2011安徽皖南八校联考设{an}是公比为q的等比数列，令bn＝an＋1n＝1,2，，若数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则q等于 A．－ B．－ C．－或－ D．－或－ [答案] C [解析] 集合{－53，－23,19,37,82}中的各元素减去1得到集合{－54，－24,18,36,81}，其中－24，36，－54,81或81，－54,36，－24成等比数列， ∴q＝－或－. 7．已知fx是一次函数，若f3＝5，且f1、f2、f5成等比数列，则f1＋f2＋＋f100的值是________． [答案] 10000 [解析] 设fx＝kx＋b，f3＝3k＋b＝5，由f1、f2、f5成等比数列得2k＋b2＝k＋b5k＋b，可得k＝2，b＝－1.∴fn＝2n－1， 则f1＋f2＋＋f100＝1001＋2＝10000. 8．文2010浙江金华如果一个n位的非零整数a1a2an的各个数位上的数字a1，a2，，an或适当调整次序后能组成一个等比数列，则称这个非零整数a1a2an为n位“等比数”．如124,913,333等都是三位“等比数”．那么三位“等比数”共有________个．用数字作答 [答案] 27 [解析] 适当调整次序后能组成一个三位“等比数”的非零整数可分为以下几类1111,222，，999；
2124,248,139.其中第1类“等比数”有9个；
第2类“等比数”有36＝18个；
因此，满足条件的三位“等比数”共有27个． 理2012北京东城练习已知等差数列{an}首项为a，公差为b，等比数列{bn}首项为b，公比为a，其中a、b都是大于1的正整数，且a11，∴a4＝2，a6＝3， ∴＝＝. 10．文2012北京东城练习已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝4an－3n∈N*． 1证明数列{an}是等比数列；
2若数列{bn}满足bn＋1＝an＋bnn∈N*，且b1＝2，求数列{bn}的通项公式． [解析] 1证明因为Sn＝4an－3，所以n＝1时，a1＝4a1－3，解得a1＝1. 因为Sn＝4an－3，则Sn－1＝4an－1－3n≥2， 所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4an－4an－1， 整理得an＝an－1. 又a1＝1≠0， 所以{an}是首项为1，公比为的等比数列． 2因为an＝n－1，bn＋1＝an＋bnn∈N*， 所以bn＋1－bn＝n－1. 可得bn＝b1＋b2－b1＋b3－b2＋＋bn－bn－1 ＝2＋ ＝3n－1－1n≥2， 当n＝1时符合上式，∴bn＝3n－1－1. 理2012浙江绍兴质量调测已知数列{an}中，a1＝1，Sn是数列{an}的前n项和，且对任意n∈N*，有an＋1＝kSn＋1k为常数． 1当k＝2时，求a2、a3的值；
2试判断数列{an}是否为等比数列请说明理由． [解析] 1当k＝2时，an＋1＝2Sn＋1， 令n＝1得a2＝2S1＋1，又a1＝S1＝1，得a2＝3；
令n＝2得a3＝2S2＋1＝2a1＋a2＋1＝9，∴a3＝9. ∴a2＝3，a3＝9. 2由an＋1＝kSn＋1，得an＝kSn－1＋1， 两式相减，得an＋1－an＝kann≥2， 即an＋1＝k＋1ann≥2， 且＝＝k＋1，故an＋1＝k＋1an. 故当k＝－1时，an＝ 此时，{an}不是等比数列；
当k≠－1时，＝k＋1≠0，此时，{an}是首项为1，公比为k＋1的等比数列． 综上，当k＝－1时，{an}不是等比数列；
当k≠－1时，{an}是等比数列. 能力拓展提升 11.2011浙江温州质检一个直角三角形的三内角的正弦成等比数列，其最小角的正弦值为 A. B. C. D. [答案] A [解析] 设三内角A0，∴an＝2n，∴a2n－1＝22n－1，∴log2a1＋log2a3＋＋log2a2n－1＝log22＋log223＋＋log222n－1＝1＋3＋＋2n－1＝n＝n2，故选C. 理2011辽宁沈阳二中检测，辽宁丹东四校联考已知数列{an}满足log3an＋1＝log3an＋1n∈N*且a2＋a4＋a6＝9，则loga5＋a7＋a9的值是 A．－5 B．－ C．5 D. [答案] A [分析] 根据数列满足log3an＋1＝log3an＋1n∈N*．由对数的运算法则，得出an＋1与an的关系，判断数列的类型，再结合a2＋a4＋a6＝9得出a5＋a7＋a9的值． [解析] 由log3an＋1＝log3an＋1n∈N*得，an＋1＝3an，∵an0，∴数列{an}是公比等于3的等比数列， ∴a5＋a7＋a9＝a2＋a4＋a633＝35， ∴loga5＋a7＋a9＝－log335＝－5. 13．文2011长春模拟已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，bn＝，且{bn}的前n项和为Tn，若对一切正整数n都有SnTn，则数列{an}的公比q的取值范围是 A．0 D．10，所以q2＝1.因为an0对任意n∈N*都成立，所以q0，因此公比q的取值范围是q1. 理2011榆林模拟在等比数列{an}中，an0n∈N＋，公比q∈0,1，且a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，又a3与a5的等比中项为2，bn＝log2an，数列{bn}的前n项和为Sn，则当＋＋＋最大时，n的值等于 A．8 B．9 C．8或9 D．17 [答案] C [解析] ∵a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25， ∴a＋2a3a5＋a＝25， 又an0，∴a3＋a5＝5， 又q∈0,1，∴a3a5， ∵a3a5＝4，∴a3＝4，a5＝1， ∴q＝，a1＝16，an＝16n－1＝25－n， bn＝log2an＝5－n，bn＋1－bn＝－1， ∴{bn}是以b1＝4为首项，－1为公差的等差数列， ∴Sn＝，∴＝， ∴当n≤8时，0；
当n＝9时，＝0；
当n9时，0， ∴当n＝8或9时，＋＋＋最大． 14．2012江苏，6现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8