第十、十一模块 概率与统计 算法初步、数系的扩充与复数的引入 一、选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．先后抛掷两枚质地均匀的正方体骰子它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6，骰子朝上的面的点数分别为x、y，则log2xy＝1的概率为 A. B. C. D. 解析满足log2xy＝1，即y＝2x，其结果有1,2，2,4，3,63种，即概率为＝.故选C. 答案C 2．某单位共有老、中、青职工430人，其中有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍，为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为 A．9 B．18 C．27 D．36 解析设老年职工有x人，则中年职工有2x人， ∴3x＋160＝430，x＝90， 又由90＝18，故选B. 答案B 3．有一段长为11米的木棍，现要剪成两段，每段不小于3米的概率是 A. B. C. D. 解析记“剪得两段都不小于3米”为事件A，从木棍的两端各度量出3米，这样中间就有11－3－3＝5米，在中间的5米长的木棍上，任何一个位置剪都满足条件，所以PA＝＝.故选B. 答案B 4．精选考题山东日照检测10件产品中，有4件二等品，从中任取2件，则抽不到二等品的概率为 A. B. C. D. 解析从总体10件产品中任取2件的方法有45种，从6件非二等品中任取2件的方法有15种，因此P＝＝. 答案D 5．鲁北化工厂为预测某产品的回收率y，需要研究它和原料的有效成分含量x之间的相关关系．现取了8对观测值，经计算得i＝52，i＝228，＝478，iyi＝1849，则y与x的回归方程为 A.＝2.62x＋11.47 B.＝2.62x－11.47 C.＝11.47x＋2.62 D.＝－2.62x＋11.47 解析将所给数据代入公式可计算出a，b的值分别为11.47和2.62，再代入＝bx＋a可得． 答案A 6．甲、乙两名同学在5次体育测试中的成绩统计如右面的茎叶图所示，则下列结论正确的是 A.甲乙；
甲比乙稳定 C.甲乙；
乙比甲稳定 D.甲s，故选A. 答案A 7．精选考题陕西如图是求样本x1，x2，，x10平均数的程序框图，图中空白框中应填入的内容为 A．S＝S＋xn B．S＝S＋ C．S＝S＋n D．S＝S＋ 解析根据题意可知该框图的算法功能是求样本x1，x2，，x10平均数，要求平均数须先求和，观察框图执行框里面应填充求和变量关系S＝S＋xn，故选A. 答案A 8．精选考题浙江某程序框图如图所示，若输出的S＝57，则判断框内为 A．k4 B．k5 C．k6 D．k7 解析第一次执行后，k＝2，S＝2＋2＝4；
第二次执行后，k＝3，S＝8＋3＝11；
第三次执行后，k＝4，S＝22＋4＝26；
第四次执行后，k＝5，S＝52＋5＝57，此时结束循环，故判断框中填k4 答案A 9．精选考题抚顺六校第二模拟某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，其中可以输出的函数是 A．fx＝x2 B．fx＝ C．fx＝lnx＋2x－6 D．fx＝sinx 解析第一个判断框的目的是判断输入的函数是否为奇函数，第二个判断框的目的是判断输入的函数是否存在零点．结合选项知，函数fx＝sinx为奇函数，且存在零点，故选D. 答案D 10．精选考题惠州第三次调研在复平面内，复数z＝cos3＋isin3i是虚数单位对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析因为33，循环结束，故输出的S的值是63. 答案63 16．精选考题深圳第一次调研若复数z＝＋mi为虚数单位为实数，则实数m＝________. 解析复数z＝＋m＝＋m＝＋m＝1－mi，因为复数z＝＋mi为虚数单位为实数，则1－m＝0，m＝1. 答案1 三、解答题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．10分从某中学高三年级参加期中考试的1000名学生中，用系统抽样法抽取了一个容量为200的总成绩的样本，分数段及各分数段人数如下满分800分 分数段 300～400 400～500 500～600 600～700 700～800 人数 20 30 80 40 30 1列出频率分布表；
2画出频率分布直方图；
3估计分数在300～600分数段以内的在总体中所占的比例；
4估计分数在600分以上的总体中占的比例． 解1频率分布表如下 分数段分 频数 频率 300～400 20 0.10 400～500 30 0.15 500～600 80 0.40 600～700 40 0.20 700～800 30 0.15 合计 200 1.00 2频率分布直方图如下 3估计分数在300～600分数段内的人数在总体中占的比例为0.65. 4估计分数在600分以上的在总体中占的比例为0.35. 18．12分一盒中装有各色球共12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球．从中随机取出1球，求 1取出1球是红球或黑球的概率；
2取出的1球是红球或黑球或白球的概率． 解解法一利用公式PA＝求概率 1从12个球中任取1球是红球有5种取法，是黑球有4种取法，是红球或黑球共有5＋4＝9种不同取法，任取1球有12种取法． ∴任取1球是红球或黑球的概率为 P1＝＝. 2从12个球中任取一球是红球有5种取法，是黑球有4种取法，是白球有2种取法．从而任取1球是红球或黑球或白球的概率为P2＝＝. 解法二利用互斥事件求概率 记事件A1＝{任取一球为红球}；
A2＝{任取一球为黑球}；
A3＝{任取一球为白球}；
A4＝{任取一球为绿球}， 则PA1＝，PA2＝，PA3＝，PA4＝. 根据题意知，事件A1，A2，A3，A4互斥，由互斥事件概率公式，得 1取出1球为红球或黑球的概率为 PA1∪A2＝PA1＋PA2＝＋＝. 2取出1球为红球或黑球或白球的概率为PA1∪A2∪A3＝PA1＋PA2＋PA3＝＋＋＝. 19．12分随机抽取某中学甲乙两班各10名同学，测量他们的身高单位cm，获得身高数据的茎叶图如图． 1根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；
2计算甲班的样本方差；
3现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm的同学，求身高为176 cm的同学被抽中的概率． 解1由茎叶图可知，甲班身高集中于160～179之间，而乙班身高集中于170～180之间，因此乙班平均身高高于甲班． 2＝ ＝170， 甲班的样本方差为[158－1702＋162－1702＋163－1702＋168－1702＋168－1702＋170－1702＋171－1702＋179－1702＋179－1702＋182－1702]＝57.2. 3设“身高为176 cm的同学被抽中”的事件为A， 从乙班10名同学中抽取两名身高不低于173 cm的同学有{181,173}，{181,176}，{181,178}，{181,179}，{179,173}，{179,176}，{179,178}，{178,173}，{178,176}，{176,173}共10个基本事件，而事件A含有4个基本事件，∴PA＝＝. 20．12分设计一个计算1＋2＋3＋＋3000的值的算法，并画出程序框图． 解算法S1i＝1；
S2S＝0；
S3如果i≤3000， 则执行S4，S5，否则执行S6；
S4S＝S＋i；
S5i＝i＋1，返回S3；
S6输出S. 程序框图如图 评析1循环结构中要有中止循环的条件，不能无休止运算下去，循环结构中一定包含条件结构，如i≤3000就是中止循环的条件；
2循环结构关键要理解“累加变量”和“用i＋1代替i”，S是一个累加变量，i是计数变量，每循环一次，S和i都发生变化． 21．12分先阅读框图，再解答有关问题 1当输入的n分别为1,2,3时，a各是多少 2当输入已知量n时， ①输出a的结果是什么试证明之；
②输出S的结果是什么写出求S的过程． 解1当n＝1时，a＝；
当n＝2时，a＝；
当n＝3时，a＝. 2①解法一记输入n时，①中输出结果为an，②中输出结果为Sn，则 a1＝，an＝an－1n≥2， 所以＝n≥2． 所以an＝a1＝＝＝. 解法二猜想an＝. 证明ⅰ当n＝1时，结论成立． ⅱ假设当n＝kk≥1，k∈N*，即ak＝， 则当n＝k＋1时，ak＋1＝ak＝＝＝， 所以当n＝k＋1时，结论成立． 故对n∈N*，都有an＝成立． 即输出a的结果为. ②因为an＝＝ ＝，