2006年上海市高中数学竞赛（新知杯）试卷 （2006年3月26日 星期日 上午830～1030） 题 号 一 二 总分 1～8 9 10 11 12 得 分 评 卷 复 核 【说明】解答本试卷不得使用计算器 一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分） 1．设x，y，z是正实数，满足，则xyz的最大值是 ． 2．设从正整数k开始的201个连续正整数中，前101个正整数的平方和等 于后100个正整数的平方和，则k的值为 ． 3．设是给定的整数，是实数，则 的最大值是 ． 4．在△ABC中，已知，过边AC上一点D作直线DE， 与边AB或者BC相交于点E，使得，且DE将△ABC的面积两等分，则 ． 5．对于任意实数a，b，不等式恒成立，则 常数C的最大值是 ．（注表示x，y，z中的最大者．） 6．设，， 则满足条件的所有实数a，b的值分别为 ． 7．在直三棱柱中，已知底面积为s平方米，三个侧面面积分别为m平方米， n平方米，p平方米，则它的体积为 立方米． 8．已知函数R→R满足对任意R，都有 ， 则所有满足条件的函数f为 ． 二、解答题 9．（本题满分14分） 已知抛物线，其焦点为F，一条过焦点F，倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，连接AO（O为坐标原点），交准线于点，连接BO，交准线于点，求四边形的面积． 10．（本题满分14分） 数列定义如下，且当时， 已知，求正整数n． 密 封 线 11．（本题满分16分） 对一个边长互不相等的凸边形的边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边有相同的颜色．问共有多少种不同的染色方法 12．（本题满分16分） 设，求 的最大值和最小值． 2006年上海市高中数学竞赛参考答案 一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分） 1、 2、20100 3、 4、 5、1003 6、，b＝0 7、 8、 二、解答题 9．（本题满分14分） 已知抛物线，其焦点为F，一条过焦点F，倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，连接AO（O为坐标原点），交准线于点，连接BO，交准线于点，求四边形的面积． 解 当时，． （4分） 当时，令．设，则由 ， ① ， ② 消去x得，，所以 ， ． ③ 又直线AO的方程为，即为，所以，AO与准线的交点的坐标为，而由③知，，所以B和的纵坐标相等，从而轴．同理轴，故四边形是直角梯形．（9分） 所以，它的面积为 ．（14分） 10．（本题满分14分） 数列定义如下，且当时， 已知，求正整数n． 解 由题设易知，．又由，可得，当n为偶数时，；
当是奇数时，． （4分） 由，所以n为偶数，于是，所以，是奇数． 于是依次可得 ， 是偶数， ，是奇数， ，是偶数， ，是奇数， ，是偶数， ，是偶数， ，是奇数， （9分） ，是偶数， ，是奇数， ，是偶数， ， 所以，，解得，n＝238． （14分） 11．（本题满分16分） 对一个边长互不相等的凸边形的边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边有相同的颜色．问共有多少种不同的染色方法 解 设不同的染色法有种．易知． （4分） 当时，首先，对于边，有3种不同的染法，由于边的颜色与边的颜色不同，所以，对边有2种不同的染法，类似地，对边，，边均有2种染法．对于边，用与边不同的2种颜色染色，但是，这样也包括了它与边颜色相同的情况，而边与边颜色相同的不同染色方法数就是凸n－1边形的不同染色方法数的种数，于是可得 ， （10分） ． 于是 ， ，． 综上所述，不同的染色方法数为． （16分） 12．（本题满分16分） 设，求 的最大值和最小值． 解 因为 ， 当或时等号成立，所以S的最大值为1． （6分） 令，，则 ． （10分） 下证 ． ① ① ， 所以 ， 从而 ， 当时等号成立，所以S的最小值为．（16分） 9 / 9